§ 15. Буруны и боры 41

§ 15. Буруны и боры

Между длинными безвихревыми гравитационными волнами в жидкости постоянной малой глубины и волнами сжатия в адиабатическом газе при т = 2 существует замечательная аналогия. Длинные гравитационные волны бесконечно малой амп-литуды распространяются с постоянной скоростью с = Ygh без изменения своей формы, совсем как при линеаризованном приближении сверхзвукового течения в § 10. Длинные гравитацион-ные волны конечной амплитуды распространяются со скоростью у, которая возрастает с увеличением местной высоты волны. Следовательно, гребень всякой длинной волны на мелководье нагоняет впадину так, как это описано в § 13. Наклон фронта волны постепенно становится все круче, пока он не станет вертикальным, и волна, наконец, «обрущивается» под собственной тяжестью.

Рэлей) использовал эту аналогию, чтобы качественно объяснить превращение в «боры» приливных волн при их распространении в устьях рек. Подобные «боры» получаются чаще всего в постепенно сужающихся устьях со ступенчатым дном: относительная высота приливных волн увеличивается вследствие получающейся концентрации всей энергии волны в меньшем поперечном сечении и jia меньшей длине волны [равной произведению (12 часов) v gh\.

Нового математического успеха удалось добиться благодаря замечанию Рябушинского (см. прим. 1) на этой стр.), который указал, что формула с = У g{h + у), где i/ -локальная высота волны, соответствует выбору 7 = 2 в соотношении (За). Вскоре после этого Джеффри (см. прим. 1) на этой стр.) применил идею, аналогичную идее Рэлея при исследовании разрушения волн на отлогих отмелях. По мере того как волны переходят на мелководье, их скорость уменьшается. Из-за этого энергия волны сосредоточивается на более коротком участке, что еще больше увеличивает высоту волны и ее крутизну. Если отмель достаточно полога, гребень волны снова попадает во впадину, образуя «бурун» прибоя.

Стокер 2) и другие авторы пытались объяснить количественно образование «бурунов» и «боров» при помощи вышеприведен-

) Proc.Roy.Soc А90 (1914) 324-328; [7]. стр. 175-177, 182; см. также Ria bouchinsky D., Comptes Rendus, 195 (1932), 988-989; [6], сто 32-35 Результаты Джеффри см. Cornish V., Ocean Waves, Cambridge, 1934, стр. io4-15У.

мпр15°Р """ 5> § 7. § 10 и при-

веденная там литература. j • j f

) См. Mason М., Gravity waves, 315-320, Nat. Bu. Standards Circular 521, 1952, или гл. Ill из работы Cornisha, цитированной в примечании 1) на стр. 41.

*) Struik D. J.. Rendic. Lincei. 1 (1925), 522-527. Обсуждение парадокса длинной волны см. в [7]; Ursel 1 F., Proc. Camb. Phil. Soc, 49 (1953), 68594Ддп a m i п T. В., L i g h t h 11 I M. J., Proc. Roy. Soc. A224

) Ferri a!, NACA. Rep.. 1045 (19б1); см. также Holt M.. ОШАМ, 7 (1954), 438-445. . x ,

НЫХ соображений. Это значит, что они пытались рассматривать эти явления в рамках рациональной гидродинамики Лагранжа. Однако представляется сомнительным, что движение жидкости в действительном прибое и в приливных волнах является безвихревым настолько, чтобы такая модель была реалистичной. В настоящем прибое и в настоящих приливных волнах всегда имеется значительная завихренность из-за откатывания пред-ществующих волн («подмыв»), из-за течения всей массы жидкости и т. Д. и, возможно, из-за «расслоения» (стратификации), вызываемого наличием взвешенного песка. Вследствие этого реальные буруны могут «нырять», «перекатываться» или «расплескиваться», а реальные боры могут продвигаться j виде изолированной стены воды или в виде ступенек). Кажется маловероятным, чтобы безвихревые гравитационные волны давали такое разнообразие явлений.

Кроме того, следует вспомнить, что в абстрактную теорию входят два параметра: отношение h/X глубины к длине волны и отношение h/R глубины к минимальному радиусу кривизны поверхности R. Как показал в 1925 г. Стройк), при любых фиксированных Л и Я, волны достаточно малой конечной амплитуды могут распространяться без изменения своей формы; это видимое противоречие с выводами Рэлея и Рябушинского можно назвать парадоксом длинной волны. Объяснение заключается в том, что построения Стройка относятся к случаю, когда h/R сравнимо с ЛД, в то время как выводы Рэлея применимы только к случаю А/Х <С Л ? <С 1 •

§ 16. Парадокс Ферри

Гораздо более недавний парадокс, которым мы обязаны Ферри), относится к сверхзвуковому обтеканию с «присоединенной» ударной волной наклоненного кругового конуса, ось которого образует угол «рысканья» 8 с направлением течения. Как будет показано в § 88, из гипотезы (С), § 1, следует, что такое течение должно обладать конической симметрией. Поэто-

§ 16. Парадокс Ферри 43

му МЫ будем рассматривать и = и(ф, 6) в сферических координатах.

Если отождествить соответствующие линии тока при центральном проектировании из верщины конуса, то они составят однопараметрическое семейство, которое схематически изображено на рис. 5. За исключением линий тока, лежащих в плоскости симметрии, для которых 9 = О, тс, все линии тока стремятся

Рис. 5. Парадокс Ферри.

к предельному «вправлению (а -8, ir), т. е. все они стремятся влиться в прямую линию тока, идущую по конусу и составляющую наименьший угол а - 8 с направлением течения. Но, в силу уравнений Рэнкина - Гюгонио, линиям тока, пересекающим «присоединенную» ударную волну под различными углами, соответствуют различные значения энтропии. Поэтому и(ф, 6) имеет особую точку в (а -8, т), что снова нарушает гипотезу (Е) из § I. Эта особенность делает неправомерным разложение и(ф, 9) по степеням угла рысканья 8 и в ряд Фурье относительно 9. Следовательно, вычисления Копала для оценки эффектов рысканья, которые основаны на теории возмущений, использующей такие разложения ), не являются строгими. А следовательно, строго не обоснован и парадокс Копала {§ 11).

•) Stone А Н., /. Math. Phys. MIT, 27 (1948); 67-81. (Вне тонкого вихревого слоя вблизи конуса разложение Стоуна правильно. В [liJ оно аналитически продолжено внутрь вихревого слоя, где оно переходит в разложение Внллета (12*]. - Прим. ред.]