§ 107. Каноническая форма

Как уже пояснялось в § 101, тензор кажущейся массы тела S зависит от выбора осей координат, связанных с телом, и изменяется с из.менением положения тела относительно некоторого заданного начального положения отсчета q = 0. Случай сферы весьма прост. Если оси проходят через центр сферы, то в обозначениях из § 100 справедливы равенства

Тп == 22 = 33 = т\ Г44 = Г55 = 2/Ш2/5,

а все Tij вне главной диагонали [i ф /] равны нулю.

Другой известный частный случай - это твердое тело в пустоте. Если за начало координат взять центр тяжести, то все Тц [i Ф j и I, / = 1, 2, 3] обратятся в нуль, а Гц = Г22 = Г33 = = т, где ш - масса тела. Далее, приняв главные оси инерции в качестве декартовых осей координат, мы можем обратить в нуль все Tij{i Ф j и /, / = 4, 5, 6). Следовательно, тензор инерции определяется четырьмя скалярными величинами Гц, Г44, Г55, Гбб, которые путем изменения единиц длины и времени можно свести к двум. Затем, Г44-Ь Г55 > Гее и т. д. при циклической замене индексов; случай эллипсоида является вполне общим.

В двух указанных случаях матрица 7"yi приводится к диагональной форме с помощью надлежащего выбора осей координат. Представляет интерес выяснить, насколько можно упростить матрицу инерциальных коэффициентов Tij при помощи надлежащего выбора декартовой системы координат и центральной точки ) для общего случая жидкости с положительной плотностью. Это представляет собой простое упражнение по теории квадратичных форм.

) Poly а Q., Ргос. Nat. Acad. Sci., 33 (1947), 218-221; S с h i f f е г М., Comptes Rendus, Paris, 244 (1957), 3118-3121.

) Относительно центральной точки см. [34*]. По вопросу об упрощении матрицы инерциальных коэффициентов см. [25*]. - При.ч. ред.

(усредненной по всевозможным ориентациям). Аналогичный результат для сфер в пространстве недавно получил Шиффер ).

Наконец, имеется замечательный результат, выявляющий связь понятия присоединенной массы с теорией струй, рассмотренной в гл. III. Как впервые доказал Рябушинский, в семействе границ, охватывающих один и тот же объе.м (или, в случае плоских течений, - одну и ту же площадь), экстремальное значение присоединенной массы дают свободные границы. Относительно вывода и применений этой теоремы мы отсылаем читателя к [17], стр. 85-89 и 177-184.

§ 107. Каноническая форма 213

На Примере весла (§ 98) видно, что кажущаяся инерция может быть различной при поступательном движении в различных направлениях; гораздо легче создать ускорение, рассекая веслом воду, чем загребая. Однако так как всякая квадратичная форма эквивалентна) относительно группы вращений диагональной форме, то мы всегда можем повернуть оси так, чтобы получить Т\2 = Ггз = Tz\ = О, причем величины Гц, Гаг, Тъз будут соответствовать «главньШ направлениям» поступательного движения.

За исключением случая вырождения (случай невесомой тонкой пластинки), когда одна из величин Та [г = 1, 2, 3] обращается в нуль, возможно дальнейшее упрощение надлежащим выбором начала координат в центральной точке. Пусть Wi, Ша, Шз обозначают вращения со скоростью один радиан в секунду относительно некоторой системы осей, параллельных главным направлениям поступательного движения; пусть X, Y, Z обозначают перемещения в главных направлениях при единичной скорости, и пусть w\, w, t»3 обозначают вращения относительно осей, смещенных на вектор {х, у, z). Тогда

<w\ - w.-i-yZ - zY,

•w = w-i-zX- xZ, (18)

w = w-\-xY-yX.

Подстановка w вместо Wi не изменяет Тц - энергию взаимодействия между X и Шь поскольку энергия взаимодействия между X и Y или Z равна нулю. С другой стороны, при этом величина Tis = Г51 увеличивается на гТц, величина Ты = T&t - на ХТ22, а величина Г24 уменьшается на ZT22 и т. д.

Поэтому надлежащим выбором z можно добиться равенства Ti5 = /24 и аналогично получить Гш = 34 и Гге = 35. Таким образом, матрицу инерциальных коэффициентов можно привести к упрощенной форме, которая указана на рис. 27.

В эту каноническую форму входят пятнадцать произвольных постоянных, число которых можно свести к тринадцати, изменив масштаб длины и времени. Итак, общий случай характеризуется тринадцатью безразмерными отношениями и двумя преобразованиями единиц измерения.

Если тело имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, как эллипсоид, то их можно взять в качестве коор-

) Используемые здесь алгебраические теоремы доказаны, например, в [45], гл. IX, теорема 21. По поводу самих результатов см, [7], § 126; общий случай рассмотрел Ciebsch, Math. Annalen, 3 (1870), 238. Относящиеся сюда другие результаты см. Morgan G. W., Quar. Appl. Math., 12 (1954). 277-285.

Рис. 27.

можно диагонализировать. Таким образом, у нас остаются шесть произвольных постоянных и четыре безразмерных отношения (их только два в случае твердого тела в вакууме).

Другой интересный случай - симметрия относительно трех взаимно перпендикулярных осей, но без симметрии относительно плоскостей, проходящих через эти оси. Типичным примером является винтовая линия: л: = г cos г, = rsin2, !r<;i, l2l<;2rt.

В силу симметрии относительно оси z остаются неизменными Z, шз, но меняется знак на противоположный у величин X, Y, Wu w%. Поэтому, как и выше, получаем равенства

= Г23 = Г43 = Г53 = Fig == 728 = 745 = Fgj = 0.

Повторив это рассуждение для других координатных плоскостей, мы видим, что, кроме «винтовых произведений инерции» р, о, 1, все коэффициенты, стоящие вне главной диагонали, обращаются в нуль. Таким образом, здесь мы имеем девять коэффициентов инерции, и при помощи изменения масштабов длины и времени их можно свести к семи существенно независимым параметрам.

Приведенные выше рассуждения можно равным образом применить к тензору присоединенной массы, хотя, вообще го-

динатных плоскостей. Отражение, скажем, в плоскости {х, у) оставляет Z, Wi, неизменными, но меняет знак на противоположный у X, Y, Шз; кинетическая энергия при этом не изменяется. В силу этого 713 = -Гз! = О, и аналогично

32 ~ 36 - 41 - T/q - Тщ = Fgj = 7"s2 = Тщ = 0.

Повторяя это рассуждение для других координатных плоскостей, мы видим, что матрицу инерциальных коэффициентов