§ 108. Геометртестя интерпретация 215

воря, главные оси будут при этом другими, если только они не являются осями симметрии. Мы рассматривали тензор кажущейся массы с целью включить сюда известный случай твердого тела в пустоте в качестве частного).

§ 108. Геометрическая интерпретация

Теперь мы будем трактовать теорию кажущихся масс как раздел чистой геометрии. Начнем с того результата из § 100. 101, что система, состоящая из твердого тела 2 в идеальной жидкости, есть инерциальная лагранжева система с кинетической

энергией, равной ТТккнЯк- Отсюда можно легко вывести

классический результат), заключающийся в том, что «естественные» траектории, получающиеся при отсутствии внешних сил, представляют собой геодезические линии. В частности, Q = О

в формуле (3) тогда и только тогда, когда Tdt принимает

минимальное значение. Это очевидное следствие из уравнений Эйлера представляет собой простейший случай принципа наименьшего действия - вариационной формулировки динамических задач.

Точнее, пространство «конфигураций» q = (i, e) нашей системы есть риманово многообразие с «длиной дуги»

ds=ZTi,{q)dqidq,. (19)

Кроме того, поскольку энергия не изменяется, dsjdt есть величина постоянная, и поэтому как J Tds, так и J Тdt принимают экстремальные значения (локальный минимум). Эти положения легко проверить на известных примерах.

Так, если V - Vz есть поверхность без трения л = x{q], q) в обычном пространстве, мы видим, что реакция связи перпендикулярна поверхности Vz; поэтому при отсутствии внешних сил нормаль к траектории частицы служит нормалью к Vs; как известно, это условие характеризует геодезические линии. В более общем случае рассмотрим произвольную траекторию i на поверхности Vz. Нормальной к поверхности V2 составляющей силы реакции обычно пренебрегают. Остается сила в плоскости, касательной к поверхности V?. Она разлагается на две составляющие: на составляющую s, касательную к -у, которую можно вы-

) Огнс>с!1тельно материала § 107 см. {30}.

°) Гер ц Г., Принципы механики, М.. 1959: [76], § 100; S v п е с J. Г.. Phil. Trans.. А226 (1926), 31-106.

) Возможность принять уравнения (3) ставили под вопрос Больцман (Crelle, т. 73, стр. 111) и Персер; см. также Mises R., ZAMM. 4 (1924), 155-181 и 193-213.

числить по формуле s = Qii + Qzi, используя выражение Т =

= j£, и на составляющую, нормальную к 7 в плоскости, касательной к поверхности Fa, равную произведению геодезической кривизны на и2 = s.

Аналогичные формулы справедливы во всяком римановом пространстве V. В частности, Q преобразуется как (контравари-антный) вектор, а ее нормальная составляющая равна произведению вектора геодезической кривизны на v. Следовательно, задачи динамики инерциальных лагранжевых систем эквивалентны геометрическим задачам.

§ 109. Доказательство того, что система является лагранжевой

Теперь для трехмерного тела ограниченного объема мы докажем справедливость предположения, что обобщенные силы Qi, определяемые вариационными уравнениями Лагранжа (3), действительно являются компонентами Q* результирующего давления или соответственно момента силы давления в обычном смысле). Последние, конечно, определяются математически как интегралы по поверхности тела

Q*=lpNdS. (20)

Здесь Ni обозначает нормальную составляющую смещения поверхности при поступательном или вращательном движении, соответствующую г-й обобщенной координате, а р определяется из уравнения Бернулли

Р+?[\ии-Щ=РоИ) (21)

для неустановившегося движения в идеальной жидкости [гл. I, (5)], если, как обычно, пренебречь гидростатическими подъемными силами.

Строгое проведение доказательства затрудняется тем, что полная масса рассматриваемой системы бесконечная, а также бесконечно число измерений «пространства конфигураций» в со-

§ 109. Доказательство того, что система является лагранжевой 217

ответствии с бесконечностью числа степеней свободы при движении жидкости. Вопросом преодоления этих трудностей занимался лишь Ламб ([82] и [7], § 135, 136), и, как кажется, не совсем успешно). Поэтому мы приведем новое и весьма изящное вариационное доказательство, принадлежащее, с точностью до небольших видоизменений, Дж. Брейквеллу. При изложении этого доказательства мы будем пользоваться выразительной 8-символикой для вариаций, общеупотребительной в динамике, хотя большинство современных авторов, занимающихся вариационным исчислением 2), предпочитают обычные обозначения дифференциального исчисления.

Мы применим без доказательства две общие теоремы. Первая из них представляет собой тождество Эйлера для первой вариации

h tl

Ь f Tdt= f Qfiq,{t)dt, (22)

где Qi те же, что и в уравнениях (3), и подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Вторая теорема заключается в том, что в тождестве (22) возможны все вариации bqi{t), лишь бы они удовлетворяли условиям bqi{tu) =bqi{t{) = = 0. Это равносильно «голономности» пространства конфигураций для твердого тела. Отсюда следует, что для доказательства тождества Qt = Q* при сравнении формул (3) и (2) достаточно доказать первое тождество из следующих двух:

f Q*bq.{t)dt=b J Tdt= f dt{b f f f VUVUdm (23)

Второе тождество становится очевидным, если дифференциал массы dm в формуле (23) записать в виде pdR.

Тождество (23) можно доказать, преобразуя правую часть следующим образом. Наше преобразование допустимо, поскольку, как и раньше, VUVU = 0(1/г), благодаря чему четырехкратный интеграл по пространству и времени сходится абсолютно, и, следовательно, можно менять порядок интегрирования. Прежде всего, воспользовавшись лагранжевой системой координат, дви-

) Так, рассматриваемые в [82] интегралы не сходятся, а в [7] точный смысл принятых там за основу допущений, как нам кажется, не вполне ясен.

2) Morse М., The Calculus of Variations in the Large, New York, 1934; Б лисе Дж. A., Лекции no вариационному исчислению, М., 1950.