§ 2. Гидродинамические парадоксы 17

§ 2. Гидродинамические парадоксы

На деле в ряде случаев уравнения Эйлера были проинтегрированы, но результаты расчетов резко расходились с наблюдениями, что явно противоречит мнению Лагранжа. В гидродинамике такие несомненные противоречия между экспериментальными данными и заключениями, основанными на правдоподобных рассуждениях, называются парадоксами, и в дальнейшем этот термин будет употребляться именно в таком смысле.

Эти парадоксы были предметом многих острот. Так, недавно было сказано), что в девятнадцатом веке «гидродинамики разделялись на инженеров-гидравликов, которые наблюдали то, что нельзя было объяснить, и математиков, которые объясняли то, что нельзя было наблюдать». (Нам кажется, что представители обоих видов все еще встречаются.) Да и Сидней Гольд-штейн заметил, что всю книгу Л амба [7] можно прочитать, не представляя себе, что вода... мокрая!

Теперь обычно заявляют, что подобные парадоксы возникают из-за отличия реальных жидкостей, имеющих малую, но конечную вязкость, от идеальных жидкостей, имеющих нулевую вязкость). Из этого, по существу, следует, что утверждение Лагранжа (см. прим. 2 на стр. 16) можно подправить, поставив «Навье - Стоке» вместо «Эйлер».

Это утверждение будет критически рассмотрено в гл. П; оно, пожалуй, в принципе верно для несжимаемого вязкого течения. Однако, мы полагаем, что если понимать его буквально, то оно может ввести в заблуждение, поскольку явно не выделены перечисленные выше правдоподобные гипотезы и не учтен тот ущерб в строгости, который обусловлен их применением.

Тем не менее нам не известно ни одного случая, когда дедукция, строгая как физически, так и математически, привела бы к неправильному заключению, но лишь очень немногие выводы теоретической гидродинамики могут быть строго установлены. Для самых интересных из них широко использовались одна или несколько из упомянутых гипотез (А) -(F).

Это можно показать на примере уравнений Навье - Стокса. Они явно непригодны для учета релятивистских эффектов, молекулярной структуры, квантовых эффектов, равно как таких специфических явлений, как ионизация, электростатические силы, загрязнения во взвесях, конденсация и т. п., каждое из которых может вызвать серьезные осложнения, как будет

) Hinshelwood С; цитируем по Лайтхиллу [Lighthi II М. Y., Nature, t78 (1956), 3431; см. также (11), т. 1, Введение.

*) См. [3]. § I, 14; [III, т I, Введение; т. 2. Введение; Hunter Rouse, Fluid Mechanics for Hydraulic Engineers, McGraw-Hill, 1938. стр. 10,

показано ниже. Стало быть, уже сразу широко используется гипотеза (А). В случае сжимаемого течения остается открытым даже вопрос о том, какой смысл имеет понятие «второй» вязкости (§ 22,33).

Мы не настаиваем на том, чтобы впредь не использовать в теоретической гидродинамике гипотезы (А) -(F) - даже в чистой математике правдоподобные соображения играют очень важную роль). В гидродинамике продвижение едва ли было бы возможно без широкого использования таких правдоподобных гипотез, а полная строгость редко бывает достижимой. Мы только настаиваем на том, что, прежде чем считать научно установленными заключения, основанные на правдоподобных соображениях, их надо проконтролировать либо с помощью строгих доказательств (как в чистой математике), либо с помощью эксперимента.

Напротив, мы считаем, что нужно только приветствовать открытие гидродинамических парадоксов, искренне признав неспособность существующей математики (и логики) адекватно отображать сложные и удивительные явления природы. Опыт показывает, что человеческое воображение гораздо более ограничено, чем ресурсы природы; как писал Паскаль, «воображение скорее устанет постигать, чем природа поставлять».

В связи с этим, остальная часть первой главы будет посвящена анализу некоторых парадоксов классической гидродинамики. В гл. II мы уделим внимание аналогичным (но не столь широко известным) парадоксам «современной» динамики жидкостей.

§ 3. Уравнения Эйлера

Мы начнем с рассмотрения основных уравнений для невязких жидкостей, выведенных Эйлером и Лагранжем. Пусть и = = и(х, t) означает вектор скорости жидкости в точке х в момент времени t. Пусть р(х, t) означает плотность жидкости, g(x, t) - внешнее гравитационное) поле и р(х, t)-давление в жидкости.

Если принять правдоподобную гипотезу (Е) из § 1 (игнорируя молекулярную структуру вещества!), то легко показать, что закон сохранения массы эквивалентен следующему уравнению

) См. Пой а Д., Математика н правдоподобные рассуждения, ИЛ, М., 1957. Парадоксы возникают даже в чистой математике; см. N о rth гор Е. Р., Riddles in Mathematics, Van Nostrand, 1944.

Этим термином автор пользуется в более широком смысле, чем это обычно принято, применяя его для поля массовых (или объемных) сил. - Прим. перев.

§ 3. Уравнения Эйлера 19

В частных производных:

div (ри) +3= О (уравнение неразрывности). (1)

Если обозначить «субстанциональную» производную по времени для наблюдателя, движущегося вместе с жидкостью, через DIDt = djdt -ь 2Uft5/(3JCft, то можно переписать (1) в виде

+ Pdivu = 0. (Г)

Случаю несжимаемости соответствует DpIDt = О, и, следовательно, div U = 0.

При U = О, когда жидкость находится в состоянии покоя, напряжение в жидкости на любой элемент поверхности действует по нормали к нему. Это - физическое определение жидкости; экспериментально проверено, что ему удовлетворяют многие реальные вещества.

Эйлер предположил, что этот закон гидростатики применим также к движущимся жидкостям, т. е. в гидродинамике. Этот закон приближенно удовлетворяется во многих случаях движения жидкостей (исключая области вблизи границы). Например, изменение скорости на 50 л/сек в слое воздуха толщиной в четверть миллиметра вызывает усилие сдвига, составляющее примерно 1/2000 атмосферного давления ([3], стр. 2).

Непрерывные жидкости, удовлетворяющие гипотезе Эйлера, называются невязками). Как показал Коши, напряжение в невязкой жидкости должно быть одинаковым во всех направлениях (изотропным); получающаяся скалярная функция р(х, t) может быть названа давлением. Далее, закон сохранения количества движения эквивалентен следующему векторному уравнению в частных производных:

grad р = % (уравнение движения). (2)

Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений в частных производных, в которой все производные по времени могут быть выражены через производные по пространственным координатам ), к уравнениям (1), (2) нужно добавить еще одно соотношение. В теоретической механике однородных невязких

) В соответствии с гипотезой (В) из § 1 воздух и воду можно рассматривать как неЕязкие жидкости.

*) Так, что начальные условия будут определять задачу Коши в обычном математическом смысле.