S 64. Обсуждение доказательства 131

как q2, то после некоторых преобразований получим соотношение )

(1-11)(П-Н1) + Г= = 0.

Это соотношение в отличие от соотношения (6) не только не зависит от выбора единиц, но и однородно по размерности, так как все входящие в него члены имеют размерность нуль по всем основным величинам. Несмотря на это, доказательство П-теоремы Букингема не применимо к соотношению (6).

Следуя Бриджмену*), мы можем рассмотреть также полиномиальное уравнение

(p(s, V. а. t) = v-{-v - 2a5 - at = 0. (18)

И это уравнение, и соотношение (6) удовлетворяются в условиях примера 2; кроме того, функция ф есть Q-полином.

Однако уравнение (18) не является не зависящим от выбора единиц в смысле соотношения (5), и функция ф не формально однородная функция: подстановка s-t-as, t-t-t переводит уравнение (18) в следующее:

I at) [fj (v - as) 0. (18)

Так как уравнение (18) справедливо в любой системе основных единиц («справедливо при любых единицах», хотя и зависит от выбора единиц), то уравнение (18) есть тождество относительно величин «ив. Поэтому из уравнения (18) следуют равенства: v = at и = as. Эти рассуждения можно обобщить следующим образом.

Теорема 3. Пусть ф(0) есть Q-полином. и пусть соотношение 9(Q) = О справедливо при любых единицах». Тогда условия ф(С1) = О эквивалентно системе формально однородных уравнений.

Доказательство следует из формального рассмотрения тождества

?(7«(Q)) = S<"--. «>,(Q).

где 9i(Q) - слагаемые функции ф, имеющие различные размерности А{ = (/Ml,. •.. Ain).

Применив предыдущие рассуждения к ряду Маклорена, получим доказательство Букингема П-теоремы; по-видимому, оно

) Это соотношение не получается нз (6). -Прим. ред. ) [461, стр. 42. Исследование уравнения (18) привело Бриджмеиа к мысли предложить «векторное исчисление» соотношений.

) См. [23], стр. 21. Уравнение (19), очевидно, показывает, что отношения однородиы.х величин инвариантны относительно замены основных единиц. Предположение, что полоннтельны, хотя и не упоминается, но также необходимо в доказательстве Бриджмена, поскольку он имеет дело

с J* dqilqi. И, действительно, отрицательные величины Oi обычно не имеют

никакого физического смысла. Эти результаты распространил с дифференцируемых на непрерывные функции Martinot-Lagarde А, Comptu Rendus. 223 (1946), 136-137.

равным образом применимо к ряду Лорана и к действительному ряду Дирихле внутри областей сходимости.

Наконец, мы напомним свойство «абсолютной инвариантности относительной величины», введенное Бриджменом). Согласно Бриджмену, функция переменных qu ..., q„ обладает этим свойством, если она удовлетворяет функциональному уравнению

fill.....яп) /Ыг....."пяп) .

f(4i.....9п) /(«.9......"пЯп)

для всех положительных ai, qt и qi[i = 1, ..., п]). Мы приходим к следующему результату.

Теорема 4. Пусть Q = f(qi.....q„) есть положительная

величина, непрерывная по основным единицам qt и удовлетворяющая уравнению (19), так что отношения ее числовых значений инвариантны относительно изменений основных единиц. Тогда Q должно удовлетворять соотношению (2).

Доказат ельство. Пусть q[ = а, ai = c", а все остальные переменные равны 1. При помощи перестановки можно получить формулу (19).в виде

1.....1)=/(о»+, 1.....1).

где X = f{c. 1, l)/f(l, I.....I). Индукцией по т получаем

для всех положительных и отрицательных целых т следующее равенство:

/(о". 1.....1) = XV(1. 1.....1). (190

Отсюда, полагая qi=2""". о = \ и /(1,..., 1)=С, получаем выражения

/(<?,. 1.....D-CX" и/(2, 1. 1) = СХ«.

Положим а = log2(/(2, 1, .... 1) (!, 1, ..., 1)] = nlogjА,, так что - 2»na/n. после поДстзновок получаем соотношение

/(2"", 1.....1)С2"""" = С(2"Т (20)

f 65. Независимы ли физические законы от выбора единиц? 133

Но степени двойки с рациональными показателями образуют всюду плотное множество положительных действительных чисел. Следовательно, если f фактически непрерывна, если f не является неизмеримой и не является всюду разрывной функцией), то для всех положительных qi получаем равбйство

ПЧи i.....I) -С(7.

Повторив рассуждение для других индексов, мы приходим к утверждению теоремы).

f 65. Независимы ли физические законы от выбора единиц?

В § 61 мы рассматривали свойство независимости соотношений от выбора единиц как математическую гипотезу. Относительно ее физической применимости велись жаркие споры. Так, некоторые авторы позволяли себе истолковывать тот правдоподобный принцип, что «все единицы измерения) пригодны», как приводящий к выводу, что при всех таких единицах получаются одни и те же универсальные физические законы. Так, Толмэн*) 1914 г. утверждал: «основные сущности, из которых построена физическая вселенная, таковы, что из них можно построить миниатюрную вселенную, в точности подобную... нашей вселенной».

Легко видеть, что такой вывод не является логически необходимым, если вспомнить, что в некотором смысле все пространственно-временные системы координат равновозможны. Но геоцентрическая система, подобная той, что используется в астро-нопии Птолемея, не приводит к тем же физическим законам, что и гелиоцентрическая система.

Кроме того, такое истолкование неверно даже для единиц длины, массы и времени в механике). Действительно, основное положение специальной теории относительности состоит в том,

) Относительяо ковтрпримеров всюду разрывных функшй си. Ham-mel С, Math. Annalen, М (1905), 459-462. С помощью логарифмического преобразоваиня уравнение (19) сводится к известному аддитивному Фушшио-•лному уравнению. Легко показать, что, в силу уравнения (19), если фушшя / разрывна в одной точке, то она должна быть всюду разрывной. Отяосительво неизмеримости f см. В а п а с h S., Thtorie des Operations

[ростов доказательство этой теоремы для дифференцируемых функ-

Unbirra. Warsaw, 19. стр. 23.

•) Просгое доказательство «11 см. в [57]. - Прим. ред.

*) Относительно значения шкалы измерений см. Campbell N., Меа-surament and Calculation, 1928. Строго говоря, следует различать шкалы оеречяслеяня, порядковые шкалы, шкалы, в которых можно уотаиовить равенство разностей значений, и истинные линейные шкалы с нулем.

«) Tolman R. С, Phys. Rev.. S (1914), 244-255.

*) Конечно, можно сохранить предположение IV следующим образом:

статт, по определевию, основной единицей такую единяпу измерения, длк w»»poi справедливо предположеняе IV; зто может даже ркаэаться полезньт.