§ 26. Другие парадоксы симметрии 59

§ 26. Другие парадоксы симметрии

Весьма любопытно, что склонность к симметрии проявляется лишь в ограниченной области Re < 1700. Любопытно, что и предполагаемое стремление к наименьшему действию, по-видимому, имеет примерно те же границы, поскольку расход энергии в течении Пуазейля меньше, чем в турбулентном течении).

Для того чтобы хоть немного разобраться в этих фактах, рассмотрим другие примеры из гидродинамики, в которых необоснованное применение гипотезы (С) из § 1 также приводит к неправильным результатам.

Один из интересных примеров представляет собой течение в трубах с некруговым поперечным сечением. При малых Re в этом случае опять-таки наблюдается параллельное течение, для которого можно вычислить профиль скоростей ([7], § 332) и в котором принцип наименьшего действия остается в силе. При больших Re течение снова становится турбулентным и даже статистически не является параллельным: существуют значительные «вторичные течения» в углах трубы.

Другой случай был изучен Дж. Тейлором в его классической работе). Рассмотрим вязкую жидкость, находящуюся между двумя длинными соосными цилиндрами, которые вращаются в противоположных направлениях с постоянными угловыми скоростями со и О) соответственно. Описанное течение является (приближенно) симметричным относительно переносов вдоль п вращения вокруг оси цилиндров, а также не зависит от времени. Имеется в точности одно решение системы (3), (4), (6), обладающее такой симметрией; оно носит название «течения Ку-этта».

При малых (О, со такое течение Куэтта наблюдается экспериментально. При больших числах Рейнольдса вместо течения Куэтта появляется несимметричное, однако нетурбулентное течение. Грубо говоря, сохраняется симметрия во времени, но не в пространстве.

Далее, рассмотрим маленький пузырек воздуха, поднимающийся в стоячей воде под действием собственной плавучести. Благодаря поверхностному натяжению он принимает форму, близкую к сферической, и, во всяком случае, на него не действует ни одна сила, которая не была бы симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через центр пузырька. Следовательно, в силу симметрии, пузырек должен был бы

) По поводу специальных теорем относи 1ельно минимума расхода энергии см. [7], § 344. J f 1-

) 3], п. 161, где приводятся результаты Ннкурадзе.

) Phil. Trans., А223 (1922), 289-293; см. также [36], гл. 2.

) См. Nisi Н. and Porter А. W., Phil. Mag., 46 (1923), 754; [17], стр. 294; Saltman P. J., /. Fluid Mech.. 1 (1956), 249-275.

) Современную формулировку этого принципа дал В i г к ii о f f G. D., Rice Institute Pamphlet. 28 (1941), № 1, 24-50; Collected Papers, т. 3, стр. 778-804. Любопытно, что формальные системы математической логики игнорируют этот принцип, применимость которого к физике была замечена u 1894 г. Пьером Кюри («Oeuvres Scientifiques», Paris, 1908, особенно слр. 119-215).

подниматься вертикально. Однако, и это поразительный факт, при Re > 50 такой пузырек прокладывает себе путь вверх по вертикальной сдирали!)

Аналогичное явление имеет место в следе за круговым цилиндром, который движется в потоке параллельно своей образующей. В диапазоне чисел Рейнольдса 50 < Re < 500 эта зона содержит чередующиеся вихри противоположных знаков (вихревая дорожка Бенара - Кармана); это явление будет проанализировано в § 56.

На первый взгляд может показаться, что подобные примеры противоречат метафизическому принципу Лейбница достаточного основания 2), а именно нашей гипотезе (С). Более глубокий подход состоит в том, что, д:огя симметричные причины обусловливают симметричные явления, почти симметричные причины не обязательно приводят к почти симметричным явлениям: симметричная задача может не иметь ни одного устойчивого симметричного решения. Такая возможность и является действительным источником «парадоксов симметрии» (наблюдаемых нарушений гипотезы (С) из § 1).

Далее отметим, что проанализировать устойчивость решения гораздо труднее, чем получить само решение, поэтому почти наверняка решения будут получаться задолго до того, как будет устаноглена их неустойчивость. В силу этого можно предвидеть, что и и будущем поток парадоксов симметрии не прекратится.

§ 27. Теория пограничного слоя

Фундаментальный вопрос механики жидкостей состоит в том, чтобы найти взаимосвязь между решениями уравнений Эйлера для движения невязкой жидкости и решениями уравнений Навье-Стокса для жидкостей с исчезающе малой вязкостью. Математически речь идет об асимптотическом поведении решений системы (3), (4) при цО (т. е. при Re->- + cx)). Поскольку обычно для кораблей и самолетов числа Рейнольдса лежат в интервале 10- 10, то для того же интервала огромное практическое значение имеет задача расчета лобового сопротивления.

§ 27. Теория пограничного слоя 61

Легко видеть, что обычная теория возмущений к этой задаче не применима, так как член, учитывающий вязкость vVu, в уравнении (3) имеет самый большой порядок и, следовательно, возмущение вязкости V относительно значения v = О есть сингулярное возмуиение Тип уравнений в частных производных обычно определяется членами наивысшего порядка. Таким образом, пренебрежение членами высшего порядка ведет к стиранию различий между типами уравнений. Даже для обыкновенных дифференциальных уравнений такого вида, как еу" -ь j/ = О, с краевыми условиями у(0)==а,у(\)=Ь, мы получаем в пределе совершенно различные картины в зависимости от того, положить ли е->- + О или е-4- 0.

Современные исследования указанного выше сингулярного возмущения в большинстве исходят из идеи Прандтля о том, что завихренность имеет место лишь в тонком пограничном слое жидкости у любой твердой границы, в котором происходит резкий перепад касательных напряжений, и в следе (часто близкого к вихревому слою) позади тела. Вне этого пограничного слоя и следа течение является почти безвихревым, и к нему применимы уравнения Эйлера.

Для собственно пограничного слоя Прандтль) построил модель, согласно которой некоторые члены в уравнениях отбрасываются. Для двумерного потока он получил (пренебрегая силой тяжести) уравнение

ди , ди , ди , I ,, . ди - , .v

-b«-5j+x» + y/(A:) = v, р = р{х), (14)

плюс обычное условие несжимаемости (4) ди/дх + dv/dy = 0. Уравнение (14)-уравнение параболического типа, и его можно интегрировать численно, пока ы > О, с учетом краевых условий и{х, 0) = i;(jc, 0) = О на неподвижной стенке и и{х, оо) Uea{x) вне пограничного слоя, причем предполагается, что Uco{x) выражено через давление по уравнению Бернулли: РИ/2--/(а;) = const. Предполагается также, что в первой же

точке, в которой и{х, у) <0 при положительном у, происходит отрыв потока 3).

Были предприняты различные попытки сделать более строгим несколько интуитивный вывод Прандтлем уравнения (14); вероятно, более всего заслуживает внимания то, что сделано

) Это подчеркивали Oseen ([9], стр. 211) и др.

") Ргос. Third Int. Math. Congress Heidelberg (1904), стр. 484-491, перепечатано в [.37].

) Более подробно ..м. в [3], гл. IV; или в [43]. стр 94-99 и 222-224.