$ 80. Симметричные решения уравнения теплопроводности 161

время, требующееся для распространения тепла, пропорционально квадрату расстояния. При любом положительном числе т трехпараметрическая группа (1*) содержит однопараметриче-скую подгруппу, определяемую соотношениями

г = аг, t = a4, UaJU. (2)

Так как 1 = 0, то эта подгруппа сохраняет следующее краевое условие f/(oo,/) =0. Мы будем искать решения U{rJ) уравнения (1), инвариантные относительно подгрупп вида (2).

В рассматриваемом случае, ввиду того что группа (2) состоит из скалярных умножений, можно применить П-теорему. Переменные / = "Z " [ /"" инвариантны относительно преобразований (2). Поэтому, согласно П-теореме, всякое решение (I), инвариантное относительно преобразований (2), должно иметь вид

=Г7(Х). l = rlt. (3)

В § 89 мы покажем, что уравнение (1) всегда имеет решения симметричной формы (3) (автомодельные), по крайней мере локально.

Пока мы ограничимся исследованием одного частного случая. Подставляя соотношение (3) в уравнение (1) и деля иа подходящую степень величины /, получаем уравнение

4x7/" + {2ш + х)/ - -f/= 0. (4)

Переход к переменной = //4х/ (которая безразмерна в обычном смысле, т. е. инвариантна относительно группы преобразований (22) из гл. IV) дает более простые выражения:

UrFr), где %F,[% + )f,--F=0. (4)

После подстановки к = - последнее уравнение переходит в конфлуэнтное гипергеометрическое уравнение). Однако не это главное; главное то, что решения уравнения (1) можно найти, интегрируя обыкновенное дифференциальное уравнение, что всегда можно проделать численно.

Не все «симметричные» решения уравнения (1) [т. е. (4)] представляют одинаковый физический интерес. Преимущественно интересны решения, для которых (/->0 при г-оо, так что

lim /(х) = 0.

) Камке Э., Справочник по обыкновенным днффере1н;иальным уравнениям, изд. 2-е, М., Физматгиз, 1961, уравнение 2.113,

Нас также интересует полное количество тепла, которое пропор-

ционально интегралу j U(r, t)r"- dr, a следовательно, и вели-

чине а«а« = а"+«, или

В частности, интересен случай, когда полное количество тепла постоянно, что соответствует распространению ограниченного количества тепловой энергии из начала координат. Тогда т = = -п; если положить п = 2Л, то уравнение (4) после приведения подобных членов сводится к виду

0 = SF№+(5--A)F5+AF=S(Ft+/=}t+A(Ft+/=}, A=-J. (4«)

Уравнение (4*) можно проинтегрировать в замкнутом виде. Чтобы получить U{oo, f) = О, функции F а Fi должны стремиться к нулю при 1 -1- оо, и. следовательно, f () = е-У Мы получили решение Лапласа

и=СГ"е-""". (5)

которое в большинстве учебников выводится с помощью преобразования Фурье.

Другой интересный случай - это случай точечного источника. выделяющего тепло (за счет химического или радиоактивного процесса) с постоянной скоростью начиная с момента / = 0. Здесь m -f- п = 2, т. е. m = 2 - п, вследствие чего уравнение (4) принимает вид

SFu+(? + A)Fe+(1-A)F=0. h = = !-.

Интегралы такого вида конфлуэнтного гипергеометрического уравнения (они были получены другим путем) могут быть выражены в замкнутом виде). Однако это не столь важно, как то обстоятельство, что полученное дифференциальное уравнение является обыкновенным.

§ 81. Спиральные течения вязкой жидкости

Теперь мы проиллюстрируем метод «поиска симметричных решений» на классическом примере «спиральных течений» несжимаемой вязкой жидкости. Впервые окончательные формулы

) См. С а г SI а W and Jaeger, cConduction of Heat in Solids». Особенно прост случай n = 2, так как тогда (I-Л)=0. [На русск яз. Карел о у. Теория теплопроводности, М,-Л., ГТТИ. 1947. - Прим. перев.]

§ 81. Спиральные тсчени.ч вяжкй жидкости 163

были получены Джеффри и Хамелем). Наибольшее значение для приложении имеют частные случаи вырождения: радиальное течение в канале и круговое течение Куэтта. Все же мы рассмотрим общий случай, так как он представляет интерес с математической точки зрения.

Хорошо известно, что в случае плоских несжимаемых потоков уравнение неразрывности эквивалентно введению «функции тока» V = j (udy - vdx), так что (dV/dy, -dV/dx) есть вектор

скорости. Тогда выражение - VV = dv/dx - ди/ду дает завихренность. Кроме того, уравнения движения Навье -Стокса для таких плоских течений эквивалентны уравнению

д(х, у) "~ г д{г, 0)

- 1 ГУ д(\У) дУ д(КУ) ~ г[ дЧ дг дг дЧ

где д(р, д)/д(х, у) = pQy - QxPy - обычте обозначение якобиана, а V, как обычно, кинематическая вязкость ц/р.

Анализ размерностей показывает, что прн геометрически подобных условиях поведение несжимаемых вязких жидкостей зависит только от безразмерного параметра Re. Теперь мы будем искать автомодельные плоские течения для однопараметриче-ских подгрупп группы подобия

г = г, 6 = 9 + р.

Это значит, что мы будем рассматривать течения, инвариантные относительно некоторой спиральной подгруппы

г = е«г, 6 = 0 + «, (7)

где параметр с характеризует спираль.

Преобразования (7) переводят плоскость саму в себя. Так как р постоянно, формулы (7) дают автомодельное движение при постоянном числе Re тогда и только тогда, когда значения rur и rut в соответствующих точках одинаковы. Но дифференциалы значений функции тока V пропорциональны произведениям расстояний на скорости, так как dV = {dV/dx)dx -f (dVldy)dy. Поэтому дифференциалы V будут инвариантны относительно спиральной группы (7). Итак, при заданном в полярных коорди-

) Jcffery G. В., Ргос. Lond. Math. Soc. 14 (1915), 327-3.38; Н а m-mel G., lahr. Deutsche Math. Ver.. 25 (1916), 34-60.

) Это можно вывести нз гл. II (П), так как rot g = О в консервативном поле и 5-V=0 в силу того, что;, - = д1дг = 0. Этот результат можно найти также в [8], стр. 573, пример 7,