§ 99. Приложения 197

Поэтому полная кинетическая энергия жидкости выражается формулой

4r» .

r = a 0

f [l+3cos2 6]sin9rf9==

r = e 6

= []j-cose-cos39]S =

Так мы получаем следующий классический результат: кинетическая энергия жидкости равна кинетической энергии частицы, движущейся с той же скоростью, что и сфера, и имеющей массу т, равную половине массы вытесненной сферой жидкости.

Кроме того, очевидно, что в невязкой жидкости вращение сферы не оказывает на окружающую жидкость никакого влияния; следовательно, момент инерции сферы остается неизменным. Это наводит на мысль, что (если пренебречь влиянием сил тяжести) сфера в такой жидкости динамически эквивалентна более тяжелой сфере в вакууме, кажущаяся масса т* т + т которой есть сумма массы сферы m и присоединенной массы т, равной половине массы вытесненной воды, но момент инерции которой не изменяется. Это будет строго доказано в § 109, где мы покажем, что все динамические характеристики всякого бев-вихревого несжимаемого течения можно вывести из выражения для его кинетической энергии при помощи общих уравнений ла-гранжевой динамики.

§ 99. Приложения

Изложенные выше результаты находят себе различные простые применения. Одно из них относится к вычислению начального ускорения, получаемого наполненным водородом сферическим баллоном, который сразу освобожден от канатов. Предположим, что масса баллона составляет /ю массы вытесненного им воздуха. Человек, не знающий о кажущейся массе, мог бы проделать следующие ошибочные вычисления. По закону Архимеда, полная подъемная сила равна произведению 9 на массу баллона; поэтому (так можно было бы подсчитать) начальное ускорение должно равняться 9. А в случае сферического бал-

Birkhoff G., Cay wood Т. Е., У. Appl. Phys.. 20 (1949), 646-659, См. также работы [7*], [25*]. [26*], [1* н 19*]. - При.н. ред.

лона, наполненного водородом и погруженного в воду, такие же ошибочные вычисления дали бы для ускорения значение, равное по меньшей мере lOOOg.

Однако правильное начальное ускорение можно легко найти при помощи теории кажущихся масс. Кажущаяся масса баллона т* составляет 0,1 + 0,5 = массы вытесненного воздуха; поэтому в действительности ускорение равно 3g/2. В воде оно составило бы около 2g.

Более тонким будет применение понятия присоединенной массы, в случае когда жидкость, в которую погружена невесомая сфера, внезапно получает ускорение а. Чему равно ускорение а* сферы относительно наблюдателя, находящегося вне жидкости? Эту задачу можно решать так. Для наблюдателя, связанного с жидкостью, ускорение а эквивалентно фиктивному гравитационному полю напряженностп а. Рассуждая, как и в предыдущем случае, получим, что начальное ускорение а* - а сферы относительно наблюдателя, связанного с жидкостью, удовлетворяет уравнению а* - а = 2а, т. е. а* = За.

Такой расчет был подтвержден Т. Е. Кейвудом и автором) для малых воздушных пузырьков в воде, и этот вывод суще ствен для истолкования опытных данных относительно различ ных течений жидкости, подобных изображенным на фото I и И

Укажем еще одно применение - к часам с маятником ([13], т. 3, стр. 1 -141). Из-за присоединенной массы инерция сферического маятника в воздухе увеличивается примерно на 0,02% часы с таким маятником отстают примерно на 10 сек в день в зависимости от плотности воздуха (давления и температуры)

Можно было бы привести множество других приложений (см. § 103-104), но, по-видимому, целесообразнее сначала рассмотреть теоретические основы вычисления присоединенной (или «индуцированной») массы для тела произвольной формы. И, как мы увидим, это составляет замечательную главу классической лагранжевой динамики. Ее создали Кельвин [85] и Кирхгоф [81]; ей в основном посвящена гл. VI «Гидродинамики» Л амба [7] 2).

§ 100. Инерциальные лагранжевы системы

Рассмотрим динамическую систему, состоящую из твердого тела S и идеальной жидкости без свободных поверхностей, ограниченную снаружи и (или) изнутри телом S. Очевидно, что S имеет шесть степеней свободы, которые можно описать с помощью координат q....., qe- Далее, если дано q(0. то при весьма общих

§ 100. Инерциальные лагранжевы системы 199

условиях существует один и только один потенциал скоростей (см. § 4 или [4], стр. 217, 311) f/= <7.{/(q), который на бесконечности стремится к нулю («регулярен»), удовлетворяет уравнению = О и на поверхности S тела 2 принимает значения ди/дп, определяемые движением S. Следовательно, кинетическая энергия жидкости определяется равенством

= P(UVU)dR = Ti,(q)qqj. (2)

Кроме того, суммарная кинетическая энергия жидкости и твердого тела определяется аналогичным равенством, но с другими коэффициентами. Симметричная матрица

T,J{ц) = ?jjiУUVU)dR, (2)

входящая в равенство (2), называется тензором «присоединенной массы»; если учитывается и кинетическая энергия тела S, то получающуюся в результате матрицу называют тензором «кажущейся массы».

Динамическая система, только что определенная, неголоном-яа и имеет бесконечное число степеней свободы, если учитывать деформацию жидкости. Тем не менее естественно рассматривать ее как обычную лагранжеву систему ([76], стр. 36) с шестью степенями свободы и считать, что конфигурация жидкости определяется ее границами, движущимися при наличии «идеальной связи» - несжимаемости. На деле такое допущение обычно принимается без доказательства ([7], гл. VI; [81], стр. 238 и [85], стр. 320). Мы докажем его в § 109.

Далее, по теореме Аванцинн (§ 21, теорема 1) действие тяготения состоит просто в том, что к системе инерциальных сил без учета силы тяжести добавляется постоянная гидростатическая подъемная сила. Поэтому достаточно рассматривать случай L = Г нулевой потенциальной энергии, что соответствует = 0. Этим определяется лагранжева система), в которой «обобщенные силы» Qi удовлетворяют уравнениям

Лагранжеву систему с нулевой потенциальной энергией можно назвать инерциальной лагранжевой системой; в § 101 - 112 мы рассмотрим тензор присоединенной (и кажущейся) массы, Определяемый инерциальной лагранжевой системой (2), (3).

) Точнее, частный случай лагранжевой системы. - Прим. ред.