§ 8. Теория кршоеого профиля 29

СХОДЯЩИЙСЯ ряд (аналогичный ряду по отрицательным степеням в разложении Лорана), члены которого суть произведения отрицательных степеней г и сферических гармоник, выраженных через широту и долготу. (Для таких решений уравнения

Чи ~ О правдоподобная гипотеза (Е) подтверждается, следовательно, строгой теоремой.)

§ 8. Теория крылового профиля

Не смущаясь приведенными выше парадоксами, ученые сумели правильно получить, по крайней мере качественно, лобовое сопротивление и подъемную силу, оставаясь в рамках уравнений движения Эйлера. Вся хитрость заключается в том, чтобы избежать употребления гипотезы (D), которую применяли Эйлер и Лагранж, а это можно сделать, используя разрывные и многозначные потенциалы. (Такие функции, правда, часто рассматриваются «практиками» как патология!)

Для определения лобового сопротивления можно постулировать наличие застойной кильватерной зоны (след, область «мертвой воды») с и = О позади препятствия, простирающегося до бесконечности, как на рис. 2, в. Эта зона отделена от глав-його течения «свободными линиями тока» с постоянным давлением, причем скорость 0 - 711 изменяется скачкообразно при переходе чщ&з эти линии. Эта модель будет изучена в § 39.

Теорию подъемной силы в двумерном течении можно получить, вводя многозначный потенциал вида

==Ж+Е«Л + ?(х), (13)

V = 0 и ?(х) = 0(1).

Здесь Г - dU -ti-kdx - циркуляция, определенная в

§ 4, причем интеграл берется вокруг препятствия (профиля крыла).

Вводя член r6/2Tt в формулу (13), мы жертвуем детерминиз-мом, так как при этом задача Неймана из § 4 заменяется задачей, которая не является корректно поставленной. Некоторую видимость детерминизма можно еще сохранить, когда крыло имеет острую заднюю «кромку» (но не в общем случае). В этом случае является правдоподобным предположение, что «скорость конечна на задней кромке» (условие Жуковского - Чаплыгина). Это условие выделяет единственное значение циркуляции Г и позволяет находить лобовое сопротивление и подъемную силу следующей теореме Кутта - Жуковского ([8], стр. 188).

•) Mises R., Zeifs. Flugt. Motorlufischiffahrt, 1917, стр. 157-163 и 1926, стр. 67-73 и 87-89. Относительно анализа фактических данных см. Мизес Р., Теория полета, М., ИЛ, 1949. [Формула для определения момента сил, действующих на крыло, была получена С. А. Чаплыгиным (см. Ч а п л ы-гин С. А.. Соч., т. II, М.-Л., 1933). -Яриж. ред.]

Теорема 2. В любом плоском течении вида (13) мы имеем D = О и L = раГ, где а = а .

В частном случае Г == О мы получаем как следствие парадокс Даламбера.

Стационарное локально безвихревое плоское течение с циркуляцией можно определить как «течение Жуковского», если оно удовлетворяет условию Жуковского. Течение Жуковского для плоской пластинки схематически изображено на рис. 2, б; коэффициент подъемной силы = 2ir sin а, где а - угол атаки. Течение Жуковского для заданного профиля с острой задней кромкой представляет собой корректно поставленную краевую задачу. Ее решение в частных случаях (профиль Жуковского, профиль Кармана - Треффтца и т. д.) составляет основную главу современной теории крыла; впервые общую теорию (с приложениями) дал Мизес). Ее справедливость основывается на следующей теореме чистой математики, которая позволяет нам преобразовывать элементарное течение Жуковского (12а) для единичного круга в несжимаемое течение Жуковского для произвольного профиля.

Основная теорема о конформном отображении. Имеется одна и только одна комплексная аналитическая функция

W=/(2:) = b + 2CftZ-*, k>0,

отображающая взаимно однозначно и конформно область вне единичного круга на внешность данной односвязной области.

В последнее время этот результат был распространен на «квазиконформное» отображение (см. прим. 2) на стр. 26), которое состоит в том, что для данного числа Маха М < 1 имеется одно и только одно дозвуковое обтекание, по Жуковскому, для любого профиля с острой задней кромкой.

В случае хорошо обтекаемых профилей при малом угле атаки действительные потоки хорошо аппроксимируются идеальными течениями Жуковского. Хотя полагать, что лобовое сопротивление равно нулю, очевидно сверхоптимистично, тем не менее подъемная сила в действительности составляет 75-95% расчетной, а отношение подъемная сила/лобовое сопротивление может доходить до 50.

§ 9. Эффект Магнуса; деривация 31

Однако условие Жуковского никоим образом не дает надежной теории подъемной силы в общем случае! Так, в трехмерном пространстве область вне самолета, очевидно, является одно-связной. Следовательно, любое локально безвихревое течение в пространстве должно иметь однозначный потенциал скоростей и при нулевой подъемной силе. Если бы это было действительно так, полет был бы невозможен.

Более утонченным является следующий парадокс Чизоттн ). Рассмотрим течение Жуковского для плоской пластинки, схематически изображенное на рис. 2,6. Согласно теореме Кутта - Жуковского, результирующая сила должна быть нормальной к потоку; поскольку же давление всюду нормально к пластинке, эта сила должна быть нормальной к пластинке - очевидное противоречие. Как показал Чизоттн, это объясняется совсем просто: на заднюю кромку действует конечная сила вследствие бесконечного отрицательного давления (подсоса), что связано, учитывая формулу (5), с бесконечным значением скорости в этой точке. Таким образом, парадокс связан с тем, что несостоятельна гипотеза (Е) из § 1, н может быть назван парадоксом особой точки.

К сожалению, экспериментальные данные не подтверждают изменения подъемной силы с изменением формы крыла, указываемого теорией Жуковского. Мы получаем здесь следующий парадокс утолщения: теоретически коэффициент Cj. должен возрастать с утолщением крыла; в действительности же обычно он убывает*).

§ 9. Эффект Магнуса; деривация

Игрокам в гольф и теннис известно стремление вращающегося мяча уклониться от своей нормальной траектории в направлении, в котором вращается его передняя часть. Это явление называется эффектом Магнуса. Согласно Рэлею ([12], т. I, 343-346), эффект Магнуса обычно объясняют качественно следующим образом.

Локальная скорость воздуха относительно мяча из-за его вращения больше с той стороны, где вращение направлено назад, чем там, где оно направлено вперед (см. рис. 3). Следовательно, по уравнению Бернулли (3), давление с одной стороны

) См. С i so tu G., Rend. Accad. Lincei. S (1927). 16-21 it 7 (1928) 17-19 и 538-543; a также Pi stoles i H., там же. 12 (1930), 409-411". (Этот парадокс был известен еще Н. Е. Жуковскому, который дал в связи с этим объяснение явления подсасывающей силы; см Жуковский Н. Е., О поддерживающих планах типа Антуанетт, Труды отд. физ. матем научн о-ва любителей естествознания. XV, вып. 2 {Ш\). - Прим. перев)

) См. [1], стр. 252. - При.м. перев.