) [13], т. 1, стр. 96-99. См. там же и стр. 186.

) Систематизированный обзор фактов относительно общего скольжения см. в работе [3], т. 2, стр. 356-361. Последние данные см. В г о с к m а п М. R., Nat. Ви. Standards Rep.. 4673 (1956); Schnell Е., /. Appl. Phys., 27 (1956), 1149-1152; Debye P. and Cleland R. L,, там же, 30 (1959), 843-849.

VUi = d{VW)/dXi - О для любого безвихревого несжимаемого потока, любое решение задачи Неймана (течение Жуковского или Эйлера) должно удовлетворять уравнениям Навье -Стокса (5). Таким образом, учет зеркального отражения должен был бы вызвать полный пересмотр теории вязких течений.

Для объяснения экспериментальных фактов вместо понятия зеркального отражения вводят квазиэмпирический «коэффициент аккомодации». Пользуясь таким коэффициентом и учитывая постулируемое в кинетической теории газов конечное значение средней длины свободного пробега, были получены результаты, в общем согласующиеся с данными эксперимента.

«Скольжение» в течении разреженного газа нельзя смешивать с представлениями девятнадцатого столетия об общем скольжении на границе весьма гладких твердых тел (например, Hg по стеклу). Так, Стоке) считал, что «скольжение» должно наступать начиная с определенной скорости, тогда как многие другие выдающиеся ученые воздерживались от высказываний по этому вопросу. Ввиду многих особенностей физики поверхностей такое положение не слишком удивительно. Подтверждением взглядов Стокса могла быть и предполагаемая аналогия с трением твердых тел, при котором напряжение сдвига t ограничено произведением постоянной ц < 1 на нормальное давление. Даже в настоящее время, несмотря на то что подавляющее число фактов свидетельствует против аналогии с понятием общего скольжения "), всеобщей и абсолютной уверенности в этом вопросе пока не достигнуто.

§ 35. Выводы

Кратко изложенные выше факты являются серьезным доводом в пользу пригодности уравнений Навье - Стокса для потоков несжимаемых вязких жидкостей, к которым относятся течения обычных газов и жидкостей при скоростях, значительно меньших скорости распространения звука (т. е. если М<0,2). Однако для большинства приложений нельзя полагаться на правдоподобные гипотезы, перечисленные в § 1, хотя эти гипотезы в других условиях могут оказаться полезными. Поэтому особенно при рассмотрении турбулентности требуется весьма

§ 35. Выводы 75

аккуратное применение статистического анализа на высоком математическом уровне.

Так, вместо использования уравнений Навье -Стокса при формулировке очевидных краевых задач (например, задачи стационарного течения) нужно обращаться непосредственно к физической действительности для постановки соответствующих краевых задач.

Подобное положение никоим образом не является чем-то новым в анализе, хотя об этом часто забывают. Так, открывая Первый международный математический конгресс, Пуанкаре сказал: «Каким бы богатым ни было воображение человека, природа еще богаче в тысячу раз», и далее: «Каждая физическая теория... по-новому освещает уравнения (в частных производных)... Без этих теорий мы не знали бы, что такое уравнения в частных производных» ). С тех пор эти основные истины подтверждались и другими выдающимися математиками, и их всегда следует помнить.

Менее ясно, какие свойства можно законным образом приписать сжимаемым вязким жидкостям. Хотя можно надеяться, что какое-то видоизменение уравнений Навье - Стокса будет хорошо соответствовать физическим фактам, остается неясным, как увязать это видоизменение с термодинамикой.

Для полной строгости нужно учитывать как теплопроводность и излучение, так и нагрев за счет трения и изменение вязкости и плотности с изменением температуры. Строгое решение возникающих при этом краевых задач и доказательство того, что задачи корректно поставлены, по-видимому, почти безнадежная проблема. Столь же, если не более, трудным делом представляется строгое применение методов теории возмущения, обосновывающее пренебрежение отдельными переменными. Достижение успеха в этом случае будет зависеть от использования гипотез (А) -(F) из § 1 и других подобных эвристических предположений.

Однако довольно обобщений! Теперь, не связывая себя строгой программой, мы перейдем к изучению трех различных концепций гидродинамики, чтобы получить более глубокое представление о том, какого рода соображения характеризуют существо вопроса. Мы имеем в виду теорию струй, подобие и присоединенные массы.

) Poincare Н., Ргос. First Int. Math Congress, Zurich, 1897, стр. 81- 90. Подтверждения этой точки зрения см Н а ri а m а г d J, Lectures on Cauchys prcbleiH, Yale Univ. Press, 1923, стр 23 и Сои rant R., Proc Eleventh Int. Math. Congress, Cambridge (USA), 1950, т. 2, стр. 278.

Глава III СТРУИ, СЛЕДЫ И КАВИТАЦИЯ

§ 36. Разрывные течения

При движении реальных жидкостей с малой вязкостью обычно можно заметить, что поток стремится отделиться от твердых стенок, особенно у острых углов. Это было уже отмечено в § 8, где на рис. 2, в изображено такое течение, а также в § 29.

Покоящаяся жидкость

Покоящаяся жадность -------- - -

Рис. 9. а - прямая струя идеальной жидкости; б-след позади полуцилиндра в идеальной жидкости.

Математические модели подобных течений с отрывом можно довольно легко построить, используя уравнения движения Эйлера для невязкой жидкости. Основная идея состоит в том, что допускается скачкообразное изменение скорости при переходе через линию тока, что является грубым нарушением гипотезы (Е) из § 1. Простые примеры таких течений схематически изображены на рис. 9. В этих течениях все линии тока параллельны друг другу, а области равномерного течения отделены от областей стоячей воды линиями тока, при переходе через которые скорость изменяется скачком. На рис. 9, а изображена идеализированная бесконечная струя; поступающая в область неподвижной воды из трубы произвольного поперечного сечения, а на рис. 9, б изображен равномерный поток, отрывающийся от полуцилиндра со стороны среза и обтекающий застойный след позади этого полуцилиндра. В обоих случаях давление можно считать гидростатическим.

По определению, в идеальной невяжой жидкости усилие сдвига равно нулю; следовательно, необходимое и достаточное