) [7], 119; Toll mien Н.. ZAMM. 18 (1938), 154

Сейчас мы будем интерпретировать Thh как интегралы количества движения. Различные авторы отмечали), что интегралы количества движения расходятся в обычном смысле. Поэтому прн интерпретации величин 7"* с помощью количества движения нужно соблюдать осторожность. А теперь рассмотрим это подробнее.

Коэффициенты Thh из формулы (8) представляют собой интегралы, взятые по границе S тела I. и в новых обозначениях нх можно записать в виде

Thu = 9J f UdSK. (14)

где i/= i/* - гармоническая функция и dS = К, dS, выражает дифференциал потока векторного поля К= (Ki(x.), Kiix), /Сз(х)) через S. Так, в случае переносов, параллельных оси Х\, К - (1, О, 0); в случае поворотов вокруг оси Xi получим К = (О, ха, -jfj) и т. Д. Посредством этого удобного обозначения определяется полезный класс интегралов Стильтьеса по поверхностям при условии, что интеграл j jldSn конечен. Заметим, что

всегда, когда К есть поле скоростей твердого тела, div К = 0. Это условие и еще то, что U есть гармоническая функция, регулярная на бесконечности ([4], стр. 217), -вот и все, что нам потребуется для дальнейших выводов.

Определим «К-линию» как интегральную кривую системы dxi/dt = Ki(x), или dx/dt = K{dXi = Kidt). Таким образом, если К соответствует поступательному движению параллельно оси Xi, то К-линии суть прямые, параллельные этой оси; если К соответствует винтовому движению относительно оси JCi, то К-линии представляют собой винтовые линии вокруг этой оси и т. д. Теперь к векторному полю UK над областями R, ограниченными поверхностями SkjSk S", где S" состоит из К-лииий, мы применим теорему о дивергенции. Так как £?5к=0 на поверхности S, состоящей из К-линий, и так как

div(6K) = A:, -i-divK.

то, пользуясь равенством div К = О, мы получаем из формулы (14) следующее соотношение:

/ / / () dR-9fjUdS,. (14)

Показанные здесь знаки перед двойным и тройным интегралами верны, если нормали направлены внутрь области R. В частности, если R - бесконечная область и поверхность S отодвигается на бесконечность и если интеграл в области R сходится, то получим формулу

Теперь рассмотрим различные случаи, соответствующие частным значениям коэффициентов в выражении для присоединенной массы.

Если й = 1, то К = (1, О, 0) = grad JCi = Vxi в зависимости от обозначений. Пусть S" есть бесконечно длинный цилиндр, ось которого параллельна оси xi и который содержит тело 2. Тогда, поскольку интеграл от количества движения

7"«=1А = Р / Udxdx, = p/ / j{)dR (15а)

сходится на бесконечности, мы получаем следуюший результат. Коэффициенты в выражении для присоединенной массы, соответствующие поступательному движению параллельно оси Хх, равны составляющей поXi количества движенияжидкости внутри любого бесконечного цилиндра, соосного с х и содержащего тело S при движении с единичной скоростью в направлении h. Область R проще всего брать в виде цилиндра, описанного вокруг тела S. Этот результат применительно к величине Гц получил Теодорсен [84].

Далее, если k = 4, то К= (О, xz, -Хг) = xsVxj - XjVxj. Пусть S" ограничивает любое твердое тело вращения, которое содержит тело S и для которого Ось Xi есть ось симметрии. Тогда граница SwS" области R состоит из поверхности 5 и из К-ли-ний (кругов), так что формула (14*) сводится к виду

(156)

где 8= arctgJC3/x2. Следовательно, - момент количества движения относительно оси Xi жидкости, находящейся в области R.

С помощью циклической перестановки осей из (15а) и (156) можно легко получить остальные величины Гл. Случай винтового движения вокруг оси xi, когда К = aVx, 4- р(г2?хз - XsVxg), легко получить суперпозицией двух предыдущих формул. Пусть поверхность 5" - круговой цилиндр, описанный во-

§ 106. Другие интерпретации 211

круг тела 2. Тогда присоединенная масса равна количеству винтового движения жидкости, находящейся внутри поверхности

6 , а именно то же самое верно

для всех цилиндров, соосных с xi и содержащих тело 2.

§ 106, Другие интерпретации

Совсем недавно Ч. Дарвин ) дал новую и очень простую интерпретацию теоретической присоединенной массы твердого тела, введя представление о дрейфе, т. е. о смещении поперечной поверхности жидкости, вызываемом поступательным движением тела 2 из -оо в -Ьоо вдоль данной оси. Он показал, что присоединенный объем ni/p, определяемый как отношение величины присоединенной массы при поступательном движении к плотности жидкости, равен объему, заключенному между начальным и конечным положениями любой такой поверхности.

В случае плоско-параллельного обтекания некоторой плоской области 2 можно дать другую, совсем простую интерпретацию в терминах конформного отображения:

z = az + Co+- + + .... а>0, (16)

переводящего внешность единичного круга на внешность области 2. Как уже отмечалось в § 8, имеется одно и только одно такое преобразование. Заметим, что если V есть функция тока, то дифференциал {V VV)dxdy кинетической энергии сохраняется при конформном отображении и скорость на бесконечности изменяется при этом в отношении 1 : а. С другой стороны, функция V из уравнения V -1- иу = ф удовлетворяет краевому условию F = О на 2.

Непосредственная асимптотическая оценка, учитывающая эти данные ([86], стр. 204), показывает, что в случае течений, параллельных оси Xl, присоединенная масса Мц тела 2 удовлетворяет уравнению)

Жц/р+ площадь(2) = 2ад21 - Re(Ci)l. (17)

Формулой (17) задача вычисления присоединенной массы сводится к задаче конформного отображения.

Другой интересный результат - это теорема Пойа о том, что из всех плоских областей, имеющих данную площадь, круглый диск обладает наименьшей усредненной присоединенной массой

) Ргос. СатЬ. Phil. Soc, 49 (1953), 342-354; см. также Light-hi 11 М. Y., J. Fluid Mech., 1 (1956), 31-53 и 311-312.

В [7*] даны выражения для всех коэффициентов присоединенны.ч масс. - Прим. ред.