) Относительно свойств матриц, используемых здесь, см., например [451, гл. X, в частности, стр. 306 [или Г а н т м а х е р Ф. Р., Теерия матриц, М.-Л., 1950.- Яри.и. ред]. Неособый минор т-го порядка -это квадратная подматрица порядка т, определитель которой не равен нулю.

») В случае когда с,т -целые числа, это можно обобщить на другие октанты. Характер поведения на гиперплоскостях Q, = О более сложен; его исследовал Riabouchinsky D., Comptes Rendus, 217 (1943), 220-223.

ранг матрицы \\b,k\\. определяемой формулами (2). Тогда всякое не зависящее от выбора единиц соотношение вида

f{Q„ .... Q,) = () (12)

эквивалентно условию вида

9(11,. .... n, J = 0 (13)

при подходящим образом выбранных безразмерных произведениях III.....Пг т степеней Qi.

Пояснение. Первая фраза соответствует предположениям I и II из § 60. Предположения III и IVобобщены формулой (12).

Доказательство. Согласно определению, матрица llihH имеет неособый минор ) т-го порядка. Переставляя Qj и Qi мы можем добиться того, чтобы в этот минор входили лишь Ql, ..., Qm и q\, ..., qm- (Физически это означает, что другие основные единицы не являются независимыми.) Тогда всякий вектор bj = {bji, ..., bjn) при j>m есть линейная комбинация bj = Cjibi -f ... -f

infim векторов Dl, . . . , Dm.

Теперь определим (г - m) новых безразмерных переменных Ui формулами

Определим также новую функцию g в виде

g(Q......Q,«. и,.....ri,-J=/(Q„ .... Qr), (14)

очевидно, что в формуле (14) Qj = Uj QJi ... Qlm при j>m.

В «октанте» Qi > О, Qr > О преобразование (2) независимых переменных взаимно однозначно в большом"). Поэтому соотношение / = О эквивалентно (т. е. определяет то же самое геометрическое место) соотношению = О, и, следовательно, g = О также не зависит от выбора единиц. Но так как минор

матрицы при i, / = 1..... т неособый, то систему линейных

уравнений Igai--... 4-6,т IgOm = Ig Q* для любых положительных Ql, ..., Qm при подходящем выборе можно разрешить относительно чисел а., ..., а™. А так как соотношение =0 не зависит от выбора единиц, то определяемое им геометриче-

§ 64. Обсуждение доказательства 129

ское место одно н то же для всех Q\, ..., Qm, следовательно, соотношение (12) эквивалентно, например, зависимости

Ф(П1.....n, J = g(l, 1; .... n, J = 0.

Таким образом, теорема доказана.

Историческая справка. Имеются некоторые разногласия относительно авторства П-теоремы. Ваши) получил этот результат в 1892 г., но он не сформулировал своих исходных допущений. Он указал использованный выше метод, но его рассуждения настолько загадочны, что никто не воспроизводил его доказательства. Букингем ({47], [48]) дал в 1914 г. первое доказательство П-теоремы, но только для частного случая, когда функцию / можно разложить в ряд Маклорена, и до недавних пор это было единственное общепринятое доказательство*). Недавно Рябушинский и А. Мартино-Лягард [52], разъяснив соображения Ваши, получили гораздо более общее доказательство ).

Приведенное здесь доказательство дает возможность более отчетливо выявить ограничения, накладываемые на величины а< и и показать используемый матричный аппарат*).

§ 64. Обсуждение доказательства

Если предположить, что функцию f можно разложить в ряд Маклорена, то можно дать другое алгебраическое доказательство П-теоремы, понять которое, быть может, легче. Мы приведем здесь это доказательство и некоторые связанные с ним результаты, чтобы полнее разъяснить понятие однородности по размерности. Прежде всего отметим следующие очевидные следствия из теоремы Эйлера об однородных функциях.

Лемма 1. Для функции f(Q), зависящей от положительных величин Qi, .... Qm. выполнение Эйлеровых условий однородности

dojW

) Vaschy А., Annales Telegraphiques. 19 (1892), 25-28. Идеи Рябу-шинского получили развитие в ряде его работ (LAerophile, September, 191 li Comptes Rendus. 217 (1943), 205-208 и 225 (1947), 837-839).

*) Фактически Бриджмеи ([461 стр. 16) поставил вопрос о том, нельзя ли рассматривать функции более общего вида. Функция a(P,M,Y) в определении Тейлора - Маккола из § 85 является безразмерной функцией, которую нельзя разложить в ряд Маклорена; см. также парадокс Ферри из § 16.

*) В первом издании [57] дано доказательство П-теоремы при самых общих предположениях. - Прим. ред.

*) См. также L а п g h а а г Н. L. [51] и данные там ссылки.

где Kj - действительные постоянные, эквивалентно следующему соотношению:

/(Q)==CQ; ... <=/(1.....1). (15)

Если Qj однородны по размерности, как в формуле (2), то однородна по размерности и функция f, и ее размерности относительно Qh есть Kibik + . . . + \mbmk = Aft.

Для таких функций мы введем следующее определение.

Определение. Конечную сумму функций /(Q), удовлетворяющую (15),

?(Q)=/i(Q)+...+/,(Q) (16)

будем называть Q-полиномом.

Лемма 2. Если все члены f(Q) в ф(0) одной и той же размерности Aft по любому qh, то функция 9 однородна по размерности.

Действительно, выполнив подстановку (2), получим

?(7,(Q)) = ?(Q, «) = aV.. а;л<р(0). (17)

Простой пример /1 = Ql, /2 = Q2, 1з = - Qi показывает, что обратное неверно, если функция ф не приведена к нормальному виду.

Мы будем говорить, что Q-полином формально однороден, если все его члены fi имеют один и тот же вектор размерности Л= (Ль .... Л„). Очевидно, если функция ф формально однородна, то равенство ф = О не зависит от выбора единиц в смысле соотношения (5). Кроме того, оно эквивалентно безразмерному соотношению 1 -Ь (/2 1) -Ь ... -Ь (fr/f\) = О, что тривиально доказывает П-теорему для Q-полиномов.

Многие уравнения физики формально однородны, подобно приведенным выше в примерах 1, 3, 4. Утверждали даже (хотя это неверно, см. § 65), что все настоящие физические уравнения должны быть однородны и, действительно, критерием однородности по размерности часто можно пользоваться в качестве удобного способа формальной проверки физических уравнений, если вы в них не вполне уверены. Однако в действительности дело обстоит значительно сложнее, и некоторые тонкие разграничения, которые здесь надо иметь в виду, лучше показать на примере. В связи с этим мы вновь рассмотрим пример 2 из §61.

Если применить П-теорему к соотношению (6), не зависящему от выбора единиц и рассматривать v как Qi, а t -