Если А/А- постоянная, не зависящая от времени и не равная нулю, скажем -С, то =С(/ -/„). Поэтому посредством

очевидного изменения начала отсчета и единицы измерения времени можно свести наш случай к случаю течений, удовлетворяющих соотношению (42) и, следовательно, обладающих симметрией относительно группы (18).

В противном случае, как можно показать частным дифференцированием соотношений (45), (46) по времени при фиксированном X. будем иметь 2 X» Ф/<* = 2 X»- 0. В этом случае, в силу равенств (44) dp/dt = du/dt = О и, следовательно, р = р(х), u = u(x). Отсюда, частный выбор переменной h/h" в формуле (45) дает как раз стационарные конические течения из § 88. Такие течения удовлетворяют соотношениям (41) и (43) при любом hit), в частности при h(t) = l/t, как в формуле (42); все они являются автомодельными относительно группы (18).

Итак, методом поиска решений, симметричных относительно группы (18), можно получить все невязкие течения, допускающие (кажущееся более общим) «разделение переменных» вида (41) и (43).

Для безвихревых течений соотношения (41) н (42) эквивалентны предположению, что потенциал скоростей U{x, t) допускает разделение переменных

U=tF(x) = tF{xlt), (47)

что уже сделано в соотношениях (36) и (37). При этом для безвихревых баротропных течений можно применить обобщенное

уравнение Бернулли из § 4, dU/dt + j VUVU -- J dp/p = С (t).

Последнее ввиду равенств (44) сводится к уравнению

(Х) - S Ь + Т If(470

В случае несжимаемой жидкости (р = ро) можно получить расширение класса подобных решений, положив C = C(t).

Дальнейшие обобщения. Разделение переменных вида (47), хотя и эквивалентно формуле (41), наводит на мысль, что формально следует рассмотреть вообще все течения, которые aвтoмodeльны по времени в том смысле, что для них справедливо соотношение:

u = g(/)f(x). где X = h{t)x. (48)

В этот класс течений входят также течения, рассмотренные в § 87, для которых (как сказано в замечании после формулы (32)]

§ 91. Случай вязкой жидкости 183

инвариантность относительно (18) эквивалентна равенству ч = .

В него также входит новый класс несжимаемых безвихревых струйных течений, введенный Карманом). Последние определяются условием подобия

£/=(х; 0 = t4W (49)

которое соответствует постоянному коэффициенту ускорения.

§ 91. Случай вязкой жидкости

Интересно было бы определить самое общее течение невязкой жидкости, удовлетворяющее условию подобия (48), и проверить течение на инвариантность относительно подгрупп группы подобия. Вместо этого мы в виде компенсации определим несжимаемые вязкие течения, удовлетворяющие условию (48).

Как и в § 3, уравнения состояния и неразрывности для несжимаемого течения, взятые вместе, эквивалентны одному условию divu = 0. Так как и А не обращаются в нуль, то это равносильно равенству

(50)

из которого исключено t

Остается рассмотреть уравнения движения Навье - Стокса. По теореме 1 из § 2 силой тяжести можно пренебречь. С учетом этого и после непосредственной подстановки условия (48) в уравнения Навье - Стокса из гл. И, формула (3), мы получим соотношения:

=./,+S«»-.()=rt+S(-)x.-. ".atS.H)"!/..

f=(). Р=-(ОР(х).

>) Atuuti ii Mat., n CIM9). 247-249-, cn. ШЖ, [Ш стр. 248.

Очевидно, что условие (51) эквивалентно требованию, чтобы векторы F = (f 1, F2, F3, Ft, fs) и G =» (Gi, G2, G3, G, G5) принадлежали взаимно ортогональным подпространствам. В зависимости от числа линейно независимых соотношений, которым удовлетворяет Gj, «F-подпространство», натянутое на векторы Fi, может, как видим, иметь 1, 2, 3 и 4 измерения. Сначала мы рассмотрим тот невырожденный случай, когда все F) пропорциональны, так что «F-подпространство» имеет одно измерение.

Мы можем сделать Ft пропорциональным F3, положив а = ag". Как и раньше, наличие равенства g = h (постоянные множители можно опустить) эквивалентно пропорциональности Fl и Fi. Остается еще условие, что Fi должно быть пропорционально Fi или должно выполняться равенство g = (-p/2)g»A для некоторой постоянной р. Так как g = h, то это условие равносильно тому, что -2g/ = р, или 1/ = Р( -/о). Надлежащим выбором начала координат и шкалы времени последнее условие можно свести к g = \/У t и. следовательно, к условиям

«Дх; 0 = /(х) и р = -. [х = :]. (62)

-i(/+-f)+/.f+i=-St- ">

Итак, в поисках более общего типа симметричных решений мы снова снизили число независимых переменных на единицу! Рассматривать соотношения (52) сами по себе здесь мы не будем).

) На плоскости условие (50) мсвивалеитяо существованию функции тока, а из соотношения (52) можно нсклюпить р, используя rot (grad р) - 0. При •том уравнение четвертого порядка в частных производных (6) не изчп-вяется.

Следовательно, дифференциальные уравнения Навье - Стокса можно записать, разделив переменные, в виде

/,(t)Ojix) = 0, (51)

F=g\ F,=ghlh, F, = g4. F = ah. F,=gh"