I) Независимый выбор единиц длины и времени возможен и в этом слг» яае, если скорость света с рассматривать как физическую размерную постояв-иую. - Прим. ред.

») Согласно Эддннгтоиу (Land. Phys. Soc.. 1918, стр. 91). практически природа заставляет вас единственным образом выбрать единицы длины, времени и массы так, чтобы было f-c-A-1. Оп>аиичеввые законы «гравитационного подобия» исследовал Laboretta, Electrotecnica. 1932, стр. 1629.

*) Другие примеры см. у Бриджмена [46], стр. 103. [По-видимому, речь идет о зависимости от единиц измерения способа записи физических законов, • ие самих законов по существу. - Ярил, ред.]

*) См. [46], стр. 65. В термодинамике мы имеем замечательный пара< доке Рябушинского (там же. стр. 10), а также закон радиации Стефана - Вольцмава £/площадь = КТ*. Еще больше проявляется искусственность понятия «осиоввая еднинца» при рассмотреанн электромагнитных еднаиц; см. Jeans J.. Electricity and magnetism, Cambridge Univ. Press. 1941, стр, 14-IS, « также Bryleqski, Comptet Rendus, SIS (1942), 104,

что законы механики, одним из которых является основной закон силы

НщипП) (21)

не являются независимыми от выбора единиц измерения длины и времени в отдельности, так как в них входит скорость света).

В квантовой механике постоянная Планка Л входит в формулу де-Бройля для длины волны частицы Я, = h/mv и в фотоэлектрическое уравнение Е = /tv; это еще более подчеркивает то обстоятельство, что не все физические законы однородны по размерности. Здесь /( - универсальная постоянная, имеющая размерность действия ML"/T (энергия X время). Другая размерная постоянная i входит во всеобщий закон притяжения Ньютона 2) F = imm/r"; другие такие постоянные входят в выражение для диаметра любой микрочастицы, и т. д. Таким образом, мы вынуждены безоговорочно признать, что мы не знаем таких €Основных единиц», по отношению к которым все известные нам физические законы не зависимы от выбора единице). В действительности выбор некоторых единиц как основных (или первичных), а всех остальных как производных (или вторичных) является делом соглашения и не вызван физической необходимостью. Так, иногда оказывается удобным считать силу не зависящей от массы, длины и времени*).

Физические постоянные. В предшествующих утверждениях необходимо сделать существенную оговорку. Универсальность «универсальных постоянных» может оказаться не абсолютной. Так, до открытия Ньютоном тяготения величина g должна была, по-видимому, считаться универсальной постоян-

НОЙ (что ДО снх пор сказывается в выборе технической системы единиц). Далее, скорость c=\iVK распространения электромагнитных волн рассматривалась Максвеллом) не как универсальная постоянная, а как величина, зависящая от диэлектрической постоянной К и магнитной проницаемости данного вещества. По-видимому, преждевременно отказываться, как от безосновательных, от попыток, подобных предпринятым Толмэ-иом (см. прим. 4) на стр. 133) и Эддингтоном *), вывести соотношения между универсальными постоянными из некоторых общих принципов.

§ ее. Инспекционный анализ

В ньютоновой континуальной механике можно производить любые изменения типа (1) в масштабах длины, массы и времени, чего нельзя сказать о релятивистской и квантовой механиках. И, по-видимому, можно быть уверенным, что законы ньютоновой механики достаточно точно описывают поведение реальных жидкостей в обычных условиях. Хотя подобные изменения масштаба могут существенно повлиять на такие свойства вещества, как плотность и вязкость, диапазон плотности и вязкости реальных жидкостей настолько велик, что это влияние обычно остается незаметным.

Выделенный выше курсивом принцип можно доказать не только экспериментально на моделях, но его можно также вывести теоретически из основных уравнений гидромеханики. Этот вывод основывается на простом мета-математическом принципе: если какая-либо система математических уравнений инвариантна относительно некоторой группы, то то же самое справедливо для всех следствий из этих уравнений.

Применительно к скалярным преобразованиям (1), указанным принципом фактически пользовались Фурье, Стоке и другие пионеры исследования анализа размерностей, чтобы проверить правильность своих рассуждений. Этот метод был отчетливо осознан Рэлеем, когда он ссылался на «подобие»; преимущества этого метода признавал также Бриджмен), который писал: «Преимущество (анализа размерностей) в том, что он быстро приводит к результату, но... он не дает такой полноты информации, которую можно было бы получить с помощью...

) Theory of electricity and magnelism. Oxford, 1881, статьи 784-787.

*) Eddington A., Relativity theory of protons and electrons, Cambridge Univ. Press, 1935; см. также 146]. гл. VIII и W h i 11 a ке г E. Т., Spase and spirit. Edinburgh, 1946.

») Rayleigh. Phil. Mag.. 34 (1892), 52 и 8 (1905), 66, a также Nature 9в (1915). 66; Bridgman [46]. 17; см. также Schiffer L., ZAMM. 24 (1944), 289-293.

детального анализа» и «анализ размерностей с физической точки зрения не столь поучителен, как условие подобия».

Принцип «динамического подобия» для движений жидкости обычно формулируется следующим образом.

Определение. Два течения жидкости Ф и Ф называются динамически подобными, если их можно описать при помощи координатных систем), в которых пространство, время и масса связаны друг с другом следующими соотнощениями:

х\=ах, t = t, m=*im. (22)

Легко проверить, являются ли уравнения гидродинамической теории инвариантными относительно преобразований вида (22).

Именно это было сделано при доказательстве теоремы 2 нз § 21. Из уравнений, подлежащих проверке, наиболее важны уравнения Навье -Стокса для несжимаемой вязкой жидкости:

Sr + 7 = + «/ = 1.2,3. (23)

Было показано, что эти уравнения инвариантны при отсутствии свободной поверхности, если для величин v и р/р (гидростатическое давление можно учесть согласно теореме 1 из § 21) масштабы выбраны так, что число Рейнольдса vd/\ из примера 5, § 62 сохраняется неизменным. (Относительно роли параметров, характеризующих данное вещество, таких, как v и р, см. § 65; их роль аналогична той, которую играют- /( и ц в теории электромагнетизма, где c = cJYK.)

Б § 70-73 будут доказаны различные аналоги теоремы 2 из § 21 применительно к сжимаемому невязкому течению, сжимаемым струйным течениям, течениям с кавитацией и т. д. Но сначала мы рассмотрим инспекционный анализ вообще, для того чтобы лучше уяснить себе его отношение к традиционному анализу размерностей.

§ 67. Связь с теорией групп

Ясно, что математические уравнения можно проверить на инвариантность не только относительно «изменений масштаба», описываемых посредством соотношений (22), но и относительно многих других преобразований. Например, все уравнения физики инвариантны относительно переноса и поворота осей ко-

) В действительности мы имеем в виду ньютоновы системы координат, в которых верны аахоны движения Ньютона. Поскольку предположение об их сушествованни ставит вопрос о воаможности динамического подобия, в этом определении имеется нечто от порочного круга.