Рис. 22. а - глубинное смыкание; б - поверхностное смыкание.

фреона, благодаря чему можно было независимо менять давление и плотность. Эти авторы показали, что для заданного диаметра d шара и вертикальной скорости входа v (число Фруда Fr = v"lgd) характер смыкания в основном определяется отношением р7р. Например, для шаров диаметра 2,5 см, входящих в воду со скоростями 15-45 м/сек (т. е. при Fr = ICP-10*) происходит поверхностное смыкание, если р7р > 0,001, и глубинное, если р7р < 0,0001.

Это внезапное изменение режима вблизи малого значения параметра р7р напоминает внезапное изменение в обычном следе, происходящее вблизи 1/Re = v/vd = 0,02 (вихревая дорожка) и 1/Re = 0,000005, а также в трубах вблизи 1/Re = = 0,0005 (см. гл. II). Таким образом, это дает нам еще один «парадокс аппроксимации» и снова указывает на то, что характер решений уравнений в частных производных может внезапно изменяться вблизи очень малых значений параметров.

В § 78 будет показано, правда, с помощью до некоторой степени произво.1ьного физического анализа, что такое изменение режима в действительности тесно связано с безразмер.1ым пара-

ностное смыкание уже не происходит даже при больших скоростях. Вначале предполагали, что наличие или отсутствие поверхностного смыкания зависит от кавитационного числа Q = 2p/pv", так как величина Q оказывает существенное влияние на многие кавитационные явления. Но в 1945 г. по нашему предложению Дж. Гильбарг и Андерсон [29] применили тяжелые газы типа

§ 54 Реальные следы 111

метром iV=}Frp7p и происходит тогда, когда N примерно равно /»о.

Другое явление, не совместимое с наивным пониманием утверждения Бетца и Петерсона, состоит в том, что при наклонном входе в воду обнаруживается тенденция к преломлению траектории движения книзу. Хотя обстоятельства дела не вполне ясны, Слихтер показал на опыте, что гладкая дюралевая сфера диаметром в 5 см, входящая в воду со скоростью около 15 м1сек под углом в 20° к горизонту, может отклониться вниз при входе на 5 и больше. (При гораздо ббльших скоростях были обнаружены отклонения вверх и тенденция к рикошету).) Полной теории этих явлений нет, но Слихтер провел тщательный (к сожалению, неопубликованный) экспериментальный анализ, который показал, что такое преломление траектории связано с вязкостью воздуха - переменной, влиянием которой по интуиции, казалось бы, можно пренебречь (ср. с гипотезой (А) из § 1).

§ 54. Реальные следы

Обычно уравнения Эйлера приближенно примени.мы в условиях стационарного течения, когда р7?<1, но для этого не достаточно, чтобы v было мало. Это выразительно показано на фотографиях реальных следов. В частности, основной переменной, определяющей поведение реального следа, является безразмерное число Рейнольдса Re = yd/v, определенное в § 21. При этом дело сводится к выяснению природы реальных следов при Re»l.

При условии Re <С 1 в реальных следах передняя и задняя части приближенно симметричны, и такие следы соответствуют приближению Стокса - ползущему течению (§ 30), если можно получить решение такой краевой задачи. В интервале 5 < Re <

< 30 (приближенно*)) при обтекании кругового цилиндра или другого необтекаемого препятствия линии тока «отрываются», образуя конечный выпуклый след, который качественно напоминает конечную каверну, описанную ранее в этой главе. В действительности подобные следы наблюдались позади сфер и дисков вплоть до значения Re = 200.

При ббльших Re, главным образом в интервале 40 < Re <

< 1000, реальные следы обычно бывают периодическими.

) Ramsauer С, ОЬег den Ricochetschuss. Kiel dissertation. 1903; [5], стр. 453. [Рнкошетироваиие по поверхности воды было изучено Л. И. Седовым (см. Седов Л. И., Водяные рнкошеты. ДАН CCCP.il (1942), № 9).- Прим. ред.]

*) См. [17], гл. XII-XIV относительно более подробного изложения фантов.

1 Мизес Р., Теория полета, М.. ИЛ, 1949.

Roshko А., /. Аег. Sci.. 22 (1955), 124-132; Cornell W. А. в [321. Схема, на которую указывает автор, впервые была введена Н. Е. Жуковским 15*]. -Прим. ред.]

благодаря чему часто слышна музыкальная нота. В случае кругового цилиндра частота колебания связана со скоростью течения V и диаметром cf приближенным эмпирическим соотношением

N=-k- (35)

Поскольку течения с подобными периодическими следами стационарны, это представляет собой новый парадокс симметрии (§ 26).

В интервале 10 < Re < 10 реальные следы позади плохо обтекаемых тел оказываются преимущественно турбулентными, но в случае достаточно гладких поверхностей пограничный слой обычно не становится турбулентным до тех пор, пока не произойдет отрыв. Однако для значений Re > 3 X пограничный слой, как правило, становится турбулентным до отрыва. Как уже объяснялось в § 28, это дает весьма суженный (но все еще турбулентный) след.

Существенная зависимость всех этих качественных явлений от численного значения Re делает очевидным тот факт, что никакая действительно фундаментальная теория реальных следов не может пренебрегать вязкостью. Тем не менее были построены различные остроумные модели следов на основе уравнений Эйлера.

Так, Мизес) предложил применять решение задачи Гельмгольца - Бриллюэна в качестве подходящего приближения реального обтекания цилиндра с ламинарным пограничным слоем. В том случае, когда из-за турбулентности пограничного слоя при больших числах Рейнольдса след сужается, хорошее приближение дает «след нулевого сопротивления».

Были предложены и другие «струйные» модели), в которых вводится частичное восстановление давления в следе на больших расстояниях, что можно согласовать с эмпирическими данными.

§ 55. Вихревые модели следов

В других моделях следов заранее вводятся априорные распределения завихренности с целью выразить наблюдаемые свойства течения посредством простых математических уравнений. При больших Re опять-таки можно пренебречь вязкостью, что, по крайней мере при беглом рассмотрении, кажется оправданным.