жушеися вместе с жидкостью, мы непосредственно получаем соотношение

h и i

= /flfmi / а.ЬщсиК (24)

где Ui = dUjdxi. Интегрируя по частям, для каждой частицы жидкости находим соотношение

f u,bu,dt = luibxi]ll- f abxidt, (25)

где at = dUildt обозначает ускорение.

Из уравнений движения (гл. I, (2)) следует, что если можно пренебречь гидростатической подъемной силой (§ 21, теорема I), то -Gf = др/рдхг, и, следовательно,

div ip Bx) = 2 8х, {-§)+Р div (8х) =

= 2.-Ш=-р2«.-/ (26)

так как div {8х) = О для несжимаемой жидкости. Аналогично div (Шх) - 2 И3х;. Снова подставим формулу (25) в последнее выражение в формуле (24) и, кроме того, воспользуемся для преобразования (24) формулами (26) и аналогичным ему соотношением. Мы получим следующий результат:

fuwipbx)dt\. (27)

Так как р = 0{1/г), Sx - 0(г) и dR = 4%rdr, четырехкратный интеграл, как и раньше, сходится абсолютно. Поэтому мы можем изменить порядок интегрирования и затем, применив теорему о дивергенции ), получим равенство

bfTdi= ffpUbx„dS + f dtlf f pbxdSl. (28)

I) Чтобы оправдать такое применение, необходимо воспользоваться теоремой Лагранжа о том, что частицы жидкости, соприкасающиеся с твердым

§110 Однородность 219

Здесь ЬХп обозначает составляющую вектора Sx, нормальную к общей границе 5 твердого тела и жидкости. Так как твердое тело и жидкость соприкасаются, то в обозначениях формулы (20) Sx„ = 2 Лг Si- В частности, 8x„ = О в точках /о и А и первый член в правой части равенства (28) обращается в нуль, так как bqiih) = bqi(ti) = 0. Из равенства x - Nilqi мы получим также в силу формулы (20) следующее выражение:

Подставив это в равенство (28), получим соотношение

8 / Tdt = 0+ / Q\bq.{t)dL (29)

Это соотношение доказывает тождества (23), следовательно, Q] = Qi.

§110. Однородность

Риманово многообразие V, определяемое формулой (19) по пространству конфигураций твердого тела S в бесконечной идеальной жидкости, замечательно тем, что оно обладает простой транзитивной группой «изометрий» (движений твердого тела), оставляющих инвариантным ds. По современной математической терминологии оно является однородным пространством. Это объясняется следующим очевидным теоретико-групповым принципом относительности: относительно рассматриваемого тела все положения эквивалентны. Формально это можно выразить следующим образом.

Различные положения q = а, Ь, с, ... тела в пространстве взаимно однозначно соответствуют различным движениям твердого тела, а, % ъ •> перемещающим тело из фиксированного начального положения отсчета О в положения а, Ь, с, ... . Поэтому мы можем отождествить точки пространства конфигураций с элементами евклидовой группы [45, стр. 259]. Кроме того, если а есть некоторое отдельное движение твердого тела, то для наблюдателя в положении а положение ао представляется точно та-

телом, образуют инвариантное множество ([И], т. 1, п. 50). Нужно также отметить, что поверхностные интегралы от иЬх„ и рЬх„, взятые по большим

сферам, стремятся к нулю, так как 5л:„ = О J" в Л j = О (1/г).

) Под этим подразумевается, что при данных о, т: 6 Fсуществует одно и только одно а, такое, что оа = т. Мы предполагаем здесь некоторое знакомство с левыми переносами абстрактной группы.

) См., например, Ames J. S., Murnaghan F. D., Theoretical Mechanics, стр. 87.

КИМ же, каким о представляется наблюдателю в О, поскольку все декартовы системы координат эквивалентны. Поэтому «группа переносов» а->-аа не может изменить метрику (19), определяемую кинетической энергией.

Пусть теперь а изменяется: рассматривая V как групповое многообразие евклидовых групп, мы видим, что V имеет «просто транзитивную») группу «изометрий» (т. е. движений, оставляющих инвариантной метрику ds). Подобное многообразие мы будем называть римановым групповым многообразием; и мы всегда можем рассматривать изометрйи как левые переносы.

Кроме изложенного, можно сделать еще одно теоретико-групповое замечание. «Стационарным движением» в динамике называют движение, которое, если рассматривать его по отношению к осям, связанным с телом, не зависит от времени. Как и в формуле (13), ускорение q стационарного движения увеличивает тачеиш Qi = XdiTijqj)/dt~\-{dT/dq,)qq на величину f.-j,-. Следовательно, для того чтобы получить силы при произвольном движении, мы просто можем сложить силы, соответствующие ускорению q из начального состояния покоя, рассмотренные в § 100-102, и силы, действующие при стационарном движении. Так, если мы хотим определить силы, действующие на твердое тело при его стационарном движении в идеальной (т. е. несжимаемой невязкой) жидкости, то мы можем определить силы и при любом движении. Поэтому мы ограничимся задачей определения сил, действующих при стационарном движении.

Хорошо известно 2), что единственными геометрически возможными стационарными движениями твердого тела в евклидовом пространстве являются поступательное и вращательное движения с постоянной скоростью и винтовое движение с фиксированным шагом и тоже с постоянной скоростью.

По определению, если a{t) - стационарное движение, то смещение о, необходимое для перехода от a(t) к ait + h), зависит только от h, т. е. о есть a(h). Поэтому

а (0) а (А-f Г) = (X (А + АО = а (ft) 3 (АО = а (0) а (/1) о (Г).

Сократив в равенстве слева на величину а(0), получим тогда a(h + h) = а{Ь)а{к); следовательно, перемещения о(Л) образуют однопараметрическую подгруппу отостельяо канонических