§ 102. Геометрические фигуры частных видов; тело Рэнкина 203

Из других осесимметричных тел, для которых аналитически найдена присоединенная масса, можно назвать тор, сферические луночки и «линзы», ограниченные соосными сферическими сегментами). В случае сфер были исследованы и слабо деформированные сферы.

Можно также рассмотреть тела Рэнкина - твердые тела вращения, которые при обтекании равномерным потенциальным потоком параллельно оси Xi эквивалентны системе источников и стоков, размещенных на этой оси. Мы рассмотрим сейчас подобные тела Рэнкина в порядке обобщения результатов Макса Мунка и Дж. Тейлора ).

Первый шаг заключается в том, что к выражению 6Xj - - xVU применяется второе тождество Грина с учетом того, что VU =Vx-i = 0. Итак, если S" - большая сфера, содержащая S, а - область между поверхностью S тела S и сферой S", то, полагая f/ = U, мы получаем из формулы (8)

причем -д/дп = д/дг на сфере S". Интегралы по сфере S" можно легко оценить асимптотически, если воспользоваться представлением

f/ 2- + 0(r-3), - = 22;4-0(г-*). (11)

Так как площадь сферы S" равна 4тгг членами О(г-з) соответственно О (г*) в формуле (10) можно пренебречь. В силу симметрии отпадают слагаемые, содержащие цг, цз- Чтобы оценить остаток, мы воспользуемся сферическими координатами.

) Относительно тора см. Hicks W. М., Phil. Trans., 172 (1881), 609 и Dyson F. W., там же, 184 (1892), 42. О сферических луночках см. Bassett А. В., Ргос. Land. Math. Soc, 16 (1885), 286. Относительно линз см. Shiffman М. and Spencer D. С, Quar. Appl. Math., 3 (1947), 270-288; Payne L. E., там же 10 (1952), 197-204. По поводу почти сферических тел см. Szego G., Ви!ге Math. }., 16 (1949), 209-223; также Plana, Мет. accad. sc. Torino. 38 (1835), 209.

2) NACA Tech. Notes. 104-106 и [83]; см. также [7], § 121a; Т о i 1 m i e n W., Ing.-Archiv, 9 (1938); Landweber L., Quar. Appl. Math.. 14 (1956), 51-56 и J. Fluid Mech.. 1 (1956), 319-336.

где есть момент диполя величины № для направления xj. Заметим, что вывод формул (10) - (12) справедлив для любой функции и, регулярной на бесконечности и удовлетворяющей

условию

Мы получили обобщение результата Тейлора [83], который рассматривал случай h = I. В этом случае (dU/dn)dS есть dSi, и интегрированием по частям по внутренней области S поверхности S мы находим, что J J XidSi - f f f представляет собой объем тела S. Поэтому можно записать равенство

r„ = 4-?ti] - р • объем (S). (12)

Наличие величины объема тела S в формуле (12) Тейлор объяснил тем, что заполненная жидкостью полость в S при поступательном движении увеличивает его присоединенную массу на величину, равную произведению р на объем полости, не изменяя дипольного момента f/ на бесконечности.

Он также отметил, что в случае тела Рэнкина а =» 2 4**-Следовательно, при поступательном движении вдоль оси Xi присоединенная масса равна произведению момента диполя, определяющей тело системы источников и стоков, на величину 4тер минус масса вытесненной жидкости.

Формула для сферы, когда J.J = a/2, как в § 98 формула (1), является частным случаем выражения

/ \ 2кг,в»

r„2.pa3-p{if!-).

Случаю вытянутого сфероида вращения соответствует линейное распределение источников между фокусами.

ПОЛОЖИВ Xl = г sin ф, dS = 2Kd (sin ф). Интеграл по сфере S" с точностью до 0(г) равен величине

2т:а,р J [2 sin2 tp + sin ср} fi? (sin f) = 2irp(i (sin ll, = ~Ф

Поэтому, переходя к пределу при г-оо, мы получим соотношение

Пл= 7/a = 47rp{.f- pffx, (-)dS, (12)

§ 103. Теория и эксперимент

Хотя мы начали с теоретического рассмотрения, но явление присоединенной массы впервые было открыто экспериментально. В 1776 г. Дюбуа) наблюдал его влияние на период малых колебаний сферического маятника. Измеренные им значения k лежат в интервале 0,45-0,67.

В то время систематическое и точное определение периода колебаний маятников имело большое научное и практическое значение. Желательно было точно знать, чему равно g и каковы его аномалии, а для определения долготы во время длительных морских путешествий требовались хорошие хронометры. В пустоте мы имеем т1Ь= mgsmb, стало быть, g связано с периодом t малых колебаний маятника длины / формулой g = A%4jx. Но необходимы поправки как на влияние воздуха, окружающего маятник, так и на трение в системе подвеса.

Очевидно, что из-за подъемной силы восстанавливающая сила mffsinS маятника плотности р уменьшается в отношении 1 - (р/р), где р-плотность воздуха. Благодаря очень точным измерениям Вейли) было выяснено, что эта поправка, доходящая примерно до 5/р минут в день, является недостаточной. Отсюда ясно, какое большое значение имел результат Пуассона и Грина, что т в левой части уравнения маятника нужно заменить на «кажущуюся массу» т*, что увеличивает величину т в отношении 1 : [1 -j- {m/m)f>K Такое вычисление а priori значения т = т* - т для сферического маятника было поразительным результатом.

Однако точные измерения выявили то обстоятельство, что наблюдаемые значения /п = йробъем (S) , полученные по измененному уравнению маятника (т + т)1Ь= т{\ - (p7p)]sinS, систематически превышали значения, найденные по формулам Пуассона и Грина.

Это систематическое расхождение Стоке ([13], т. 3, стр. 1- 101) объяснял влиянием вязкости. Его соображения будут конспективно изложены в § 115; из них следует, что указанная разность значений пропорциональна числу Стокса S = у/а/ш, где (О - частота, а а - радиус сферы. Стоке получил также вязкое затухание, которое в обычных условиях тоже пропорционально S.

Отсюда следует, что при быстрых колебаниях .налой амплитуды, когда S мало, теория идеальной жидкости должна доста-

)DuBuat, Principes dhydraulique, 3-е изд., Paris, 1816, 221-251 (первое издание-в 1776 г.). Обзор более ранних работ см. в (13], т. 3, стр. 76-122 или в [79], стр. 97-101.

2) В ail у F., Trans. Roy. Soc, London (1832), 399-492.