) Эта классическая формула доказана при весьма общих условиях на стр. 92 статьи автора «Analytical groups* (теорема 14), Trans. Am. Math. Soc, 43 (1938), 61-101,

где r-s обозначает («групповое») произведение г и s в группе Q.

Теперь рассмотрим геодезическую кривизну подгруппы С при q = 0 в метрике ds = T,jdqidqj. В силу § 108, ее величина пропорциональна следующей величине:

i - ~M\-J~d~-W(i~2~l>i=

так как qi = 1, q - О при / = 2, .,., г и = О при всех к. Это - видоизмененный тензор КриСтоффеля (13); согласно § ПО, коэффициент пропорциональности » == Гц подходящим выбором масштаба времени можно свести к единице, В конечном счете в действительности нас интересует не геодезическая кривизна, а величина Q, так что вопрос о коэффициенте пропорциональности не должен нас занимать.

Вычислим теперь частные производные, входящие в последнюю из формул (39). Для этого заметим, что, по определению, бесконечно малый вектор c?q с началом в exp(/Ei) эквивалентен при левом сдвиге бесконечно малому вектору rfq с началом в тождественном преобразовании О тогда и только тогда, когда

ехр(tEi + йц[) = {ехр{tE} • q. (40)

Но правую часть выражения (40) с помощью разложения в ряд Шура -Кэмпбелла -Хаусдорфа) можно представить в виде

{ехр (Я,)}. rfq = ехр {tEi + dq + ~ [Я„ rfq] ...), (41)

где опущены члены, содержащие t во второй степени. Поскольку rfq и rfq эквивалентные бесконечно малые, отсюда следует соотношение

rfq = dq-[£„ rfqlH-.... (41)

Теперь,записав, что dq = dq\E\ Л-... Л- dq„En и dq = dqlEx -Ь

+ ... + dqiSn, получим, цо определению, подобно формуле (36) следующее равенство:

\Е„ dq\ = dq)\E,,E] = dqyjE,.

) Формула (44) была получена в 1945 г. Джоном Брейкуэллом и автором независимо друг от друга. См. Abstract, 52-7-242, Bull. Am. Math. Soc, 52 (1946), 617,

Подставив его в векторное уравнение (41) и приравнивая соответствующие компоненты, получим основное соотношение

dq, = dql-tcifdqj+ .... (42)

где отброшены члены со степенями t выше первой.

Но, по определению риманового группового многообразия, инвариантно относительно левых переносов. Поэтому, в силу

условия (40) и соотношения (42), можно записать следующие

равенства:

dqJnn (ti) dql = dqj,, (0) dq, =

= К -1 К dq) Т,, (0) (dq\ -1 tc dq) =

= dqn(0)dql-jt {cJdq]T,, (0)dq, + dq,(0) dq,]

с точностью до членов выше первой степени относительно t. Переставляя «немые индексы» суммирования j, h п I, k в фигурных скобках, чтобы приравнять коэффициенты, получаем соотношение

(tE,) = Т,,(0)-i {cf Tj,(0) + i*r„(0)} + ... .

Теперь, продифференцировав по и обозначив оба индекса суммирования через /, получим формулу

= -l(cfr,-+-fr,} при 0. (43)

Далее, подставив формулу (43) в выражение (39), получим равенство

4Q, = -2су Г, - 2cf Г,. -4- cf Т,, + cf Г,.

Кроме того, в силу известной антисимметрии [Ei, Ei] = = -{El, £i] получаем для структурных постоянных - cV = и су = 0. Подставляя эти выражения в предыдущую формулу и сокращая на четыре, мы получаем окончательную формулу)

Qic}T,• (44)

) Относительно формулы (45) см.- [7], п. 124, формула (4); в § 125 из [7] формула (46) дана неявно; см. также приведенную там библиографию.

) Устойчивость таких поступательных движений исследовал U г» sell Н. D., Ргос. Camb. Phil. Soc, 37 (1941), 150-167.

Очевидно, что в случае стационарного движения вдоль оси Eh соответствующая формула будет иметь вид

Qc-=%cfT,, = -±cfT.. (44*)

Следовательно, для существования стационарного движения частицы в некотором римановом групповом многообразии G вдоль Eh требуется внешняя сила (44*). Другими словами, T/tj/ ы1 (суммирование по /, но не по А) есть геодезическая кривизна однопараметрической подгруппы ехр (tEh) на группе G. Еслимы выберем нормальный ортогональный базис Ei, ..., £„ в метрике ds при О, то эта кривизна будет равняться просто с/,*

§ 113. Приложения

Пользуясь только общей формулой (44*) и соотношениями коммутативности (35) евклидовой группы, можно вывести выражение для внешней силы, которая необходима, чтобы поддерживать стационарное поступательное или вращательное движение в идеальной жидкости. (Сила, с которой жидкость действует на тело, конечно, равна этой силе по величине и противоположна по направлению.) Так, при стационарном переносе Ей вдоль оси Хх эта сила равна

(О, О, 0; О, Г,з, - Г,2). (45)

Аналогично при стационарном вращении Ei с угловой скоростью в один радиан за секунду вокруг оси Xj требуется сила

(О, - Ti,; О, Ti„ - Г45). (46)

Это классические формулы Кирхгофа и Кельвина); заметим, что формула (45) сводится к О (стационарное движение при отсутствии внешних сил), если тензор кинетической энергии

2 TijaiOj поступательного движениятагоналтшрован. Иначе го-

воря, стационарное поступательное движение при отсутствии внешних сил (теоретически) возможно вдоль главных осей тензора кинетической энергии поступательного движения и ни в каком другом случае).