§ б. Стационарные безвихревые течения 23

§ 5. Стационарные безвихревые течения

Случай стационарных (или установившихся) течений, когда tt = u(x), очевидно, имеет особое значение. Исходя из результатов § 4, гидродинамики XIX века считали правдоподобным, что для твердого тела, проходящего с постоянной скоростью достаточно большое по сравнению с его размерами расстояние в неограниченном объеме жидкости, вязкость которой достаточно мала и которая первоначально находилась в покое, можно написать равенства:

С/={/(х), ppix), g = g(x),

и т. д. -для осей координат, жестко связанных с телом, относительно которых жидкость движется с постоянной скоростью а. Ясно, что такие правдоподобные выводы основаны на гипотезе (В) § 1.

Если исходить из этих правдоподобных заключений, то далее можно действовать следующим образом. Для стационарных течений при и = U{x) уравнение движения (2) после однократного интегрирования по пространственным координатам становится эквивалентным уравнению )

VUVU+f+G = , или "du. + j + dOO. (8)

Это уравнение называется уравнением Бернулли для стационарного течения; в случае несжимаемой жидкости оно принимает известный простой вид:

/-/o-po(Vf/Vf/4-G). (8*)

Подобным образом условие того, что скорость тела относительно жидкости на бесконечности равна -а, может быть записано в виде

lim grad U~a (9)

и для несжимаемого, и для сжимаемого течения.

Наконец, поскольку течение стационарно, то должны быть стационарны и границы течения. Отсюда условие непроницаемости (7) сводится к условию

~ = 0 на границе. (7*)

) Если справедливо соотношение (За), то J dp/fpl{--1)р =

) в случае несжимаемости гравитационный эффект сводится к обыкновенной гидростатической подъемной силе, как показано в § 21.

Прн этом последнюю функцию надо рассматривать как функцию аргумента Л(р). - Прим. перев.

В случае безвихревого сжимаемого течения уравнение неразрывности (1) все еще можно записать при помощи единственной неизвестной функции U(x), если только пренебречь эффектом гравитации, что обычно допустимо при достаточно больших скоростях, когда становится заметной сжимаемость). (Если гравитацией нельзя пренебречь, как, например, в случае атмосферных движений больших масштабов, то условие (9) не может быть выполнено, даже несмотря на то, что безвихревое течение является допустимым.)

Кинематика баротропного течения. Полагая G = О в уравнении (8), при описанных выше условиях мы можем получить равенство

d? h{p) /{?£/. w) *

где / - функция, обратная функции 2/>о/ро -2 j* du/h(p)p* 2). С другой стороны, из уравнения (1) при dp/dt = О следует Р~ div (pu) = О, или

с" dxj дх dxjdx Другая форма уравнения (10) имеет вид

где локальное «число Маха» М = q/c есть отношение локальной скорости течения q к локальной скорости звука с, а все коэффициенты UjUhlq меньше или равны 1.

Подставив в уравнение (10) выражение для l/c, взятое из формулы (9*), мы получим ([10], стр. 240) уравнение

,ил.и.тЪШтЩ- (Ч)

Одно-единственное уравнение в частных производных (И) вместе с краевыми условиями (9) и (7*) сводит задачу для случая стационарного сжимаемого течения баротропной жидкости нулевой (малой?) вязкости к другой правдоподобной краевой за-

даче. Если только последняя задача решена, то из уравнения (8) можно легко найти поле давления.

Таким образом, мы свели задачу стационарного течения к чисто кинематической задаче. Если дано любое математическое решение уравнений (11), (9) и (7*) и если посредством уравнения (8) определено поле давления при G = О, то уравнение движения (2) удовлетворяется автоматически. Очевидно, что задача Неймана из § 4 получается как предельный случай при с->оо. Допущение (F), таким образом, позволяет получить гораздо больше, а именно, что решение можно разложить по степеням (метод Рэлея - Янцена, [15], стр. 275).

§ 6. Парадокс обратимости

Одной из фундаментальных задач гидромеханики является определение силы, действующей на твердое тело, находящееся в стационарном поступательном движении с постоянной скоростью а в однородной покоящейся жидкости. Если твердое тело движется параллельно некоторой плоскости симметрии, то эту силу можно разложить на лобовое сопротивление D, подъемную силу L и момент М, действующий в этой плоскости.

Лагранж мог бы заметить, пользуясь весьма простыми соображениями обратимости, что идеализированная краевая задача § 5 может не привести к правильному результату при определении сопротивления, испытываемого реальными твердыми телами при движении в реальных жидкостях. Основная мысль заключается в следующем (см. [1]).

Определение 1. Обращение течения и(х; t) определяется как v(x; t) = -u(x;-t), причем в обоих течениях давление и плотность в соответствующих точках одинаковы.

Прямой подстановкой можно показать, что обращение любого течения, удовлетворяющего уравнениям (1) - (3), также удовлетворяет уравнениям (1) - (3), правда, при обращении и краевых условий. В частности, справедлива следующая лемма.

Лемма. Если и(х) есть стационарное безвихревое течение вокруг твердого препятствия и и(оо) = а, то таковым является и v(x) =-u(x) при \{оо) =-а. Кроме того, поля давления, так же как и D, L и М, одинаковы для и(х) и v(x).

Эта лемма находится в качественном противоречии с динамикой реальных жидкостей: в действительности изменение направления движущегося тела на противоположное обычно