) [3], стр. 431; см. также § 28, где приведены аналогичные результаты. Об использовании аэродинамических труб вместо гидродинамических см. Keller С, Escher Wyss News (1940). Гелий в условиях сверхтекучести (§ 20), по-видимому, не подходит.

лобового сопротивления сфер и цилиндров удовлетворяют соотношению (8) при одном и том же значении /Со(Re) для всех жидкостей и при всех размерах и скоростях. Соответствующий результат справедлив для поверхностного трения пластинок, параллельных направлению потока.

При опытной проверке этих результатов необходимо соблюдать следующие две предосторожности, иначе не обеспечивается моделирование по числу Рейнольдса. Во-первых, нужно пользоваться моделями с аналогичной шероховатостью поверхностей. Это существенно влияет на появление турбулентного течения и на переход в пограничном слое от ламинарного течения к турбулентному. Так, вблизи Re„p. можно намного уменьшить лобовое сопротивление сферы, увеличив должным образом шероховатость ее поверхности.

Во-вторых, турбулентность свободного потока должна оставаться той же самой), особенно в аэродинамических трубах с замкнутым контуром. Найдено, что величина Rchp. для сфер в аэродинамических трубах может увеличиваться в 2 раза в зависимости от турбулентности в трубе. Практическое решение этой проблемы будет описано в § 75.

Моделирование при ббльших числах Рейнольдса в малом масштабе для больших скоростей в потоке -весьма нелегкая задача. Если использовать данную жидкость (воздух или воду) при атмосферных условиях, то всякое уменьшение диаметра модели должно компенсироваться увеличением в том же отношении скорости. В случае воздуха вязкость v можно уменьшить, используя сжатый воздух, чтобы компенсировать уменьшение масштаба длин (ср. конец § 73 и § 75). К сожалению, мы не знаем ни одной жидкости, у которой значение v было бы намного меньше, чем у воды, хотя многие жидкости имеют значительно большее значение v. Поэтому только аэродинамические трубы *) дают экономичные модели по числу Рейнольдса при моделировании течений воды.

§ 72. Моделирование по числу Фруда и по числу кавитации

Инспекционный анализ можно также применять для получения законов моделирования явлений, в которых вязкость и

Du, 1

Dt Fr

V / dxl

(31)

Так как gilg есть {-й направляющий косинус интенсивности гравитационного поля и так как и(х, /) определяет Vp, то мы получаем динамическое подобие при пропорциональности дифференциалов коэффициента давления 2p/poV" (хотя и нет обычной пропорциональности величины 2p/goV), если только числа Fr будут равны.

Действительно, давление в окружающей среде Р - это обычное локальное атмосферное давление Ра при моделировании гравитационных волн; при кавитационном моделировании нужно рассматривать также давление пара р„. Это стало вполне ясно лишь в 1924 г., когда Тома ) ввел число кавитации

Q = (32)

) Thoma D., Experimental research in the field of water Power, Trans. First World Power Conf., T. 2 (1924), 536-551; см. также Taylor H. В., Moody L. P., Mech. Engineering. 44 (1922), 633-640. Явно это высказал Lerbs Н. на стр. 290 в Hydromechanische probleme des schiffsantriebs, Hamburg; см. также R о s s e 11 H. £., Chapman L. В., Principles of naval architecture, Soc Nav. Arch. Marine Eng., New York, 1947. т, 2, стр. 177.

сжимаемость не играют существенной роли, но зато имеется «свободная поверхность», находящаяся под постоянным давлением. В частности, такие законы применимы к гравитационным волнам и к явлению кавитации в жидкостях. Справедлива следующая теорема.

Теорема 7. В однородном гравитационном поле интенсивности g Эйлеровы, уравнения движения и краевые условия на твердых границах, а также условие безвихренности и условие на «свободной поверхности» р = const на границе сред жидкость - газ остаются неизменными при всех преобразованиях вида (22), оставляющих неизменным число Фруда Ft = \/gL.

Доказательство. В силу теоремы 5, достаточно рассмотреть условие на свободной поверхности р = const, т. е. условие того, чтобы Vр был нормален к ограничивающей поверхности. Для доказательства умножим уравнения (23) на L/V", как при выводе уравнений (28); мы получим безразмерное уравнение

Р = Р„, если р=Р„.

При заданных Р и Pv преобразование подобия (22) не изменяет соотнощений (33) тогда и только тогда, когда оно не изменяет величину Q; доказательство аналогично доказательству теоремы 7.

Лри моделировании можно оставить неизменными как гравитационные, так и кавитационные член ы при линейном масштабе 1 : а, взяв для скорости масштаб 1 :Ка (одно и то же g) и изменяя Р таким образом, чтобы Р - Pv преобразовывалось в отношении 1 : а. Такое «моделирование по числу Фруда с понижением давления» сейчас широко используется при исследовании кавитации судовых винтов; может оказаться, что в таких моделях давлением пара нельзя пренебречь.

§ 73. Моделирование по числу Маха

Еще со времен опытов Робина (1747 г.) ) известно, что сопротивление снаряда не пропорционально квадрату скорости; следовательно, ни один способ инерциального масштабирования не является приемлемым. В обозначениях примера 3 из § 61 Ко заметно возрастает вблизи скорости звука. Поэтому Ко обычно табулировали как функцию и.

Было признано с самого начала, что причиной этого является сжимаемость воздуха, но более рациональное табулирование Ко как функции числа Маха М относится лишь ко времени.первой

) См. Lorain F., Liielice propulsive, Paris, 1932, стр. 129. Buckingham е.. Jour. Am. Soc. Naval Eng.. 48 (1936), 147-148; Taylor D. The speed and power of ships, 3-е издание (1943), стр. 17.

") По поводу истории вопроса см. С г а п z (5J, стр, 44-45

До этого считалось общепризнанным, что кавитация зависит от однородного безразмерного параметра

входящего в уравнение (28), что непосредственно следует из обычного анализа размерностей ).

Полный инспекционный анализ вместе с предположением, что кавитация возникает самопроизвольно при р < р„, дает теоретическое обоснование для предпочтения формулы (32), ибо это предположение равнозначно постулированию разрывного уравнения состояния гл. III (14):

Р = Ро, если р>р„ (33)