Через обозначим пространство функций, для которых vrai sup II «(О е"<оо.

Введем соответственно нормы в пространствах L, L

, = {\\\uic)\\e<">drf 1/7<схэ,

" lU, и, = vrai sup II и it) 11 e".

задачи (5.9), то нулевое решение системы (5.7) будет экспоненциально устойчивым.

В самом деле, полагая Хо = 0, получаем задачу (4.1) и, следовательно, в силу леммы (5.2) будет справедливо нера-

венство I) W{t, т))(/тФ„. Полагая u(t) = 0, получим ог-

раниченную функцию у (t) = х (t)= W{t, to)xo и, следовательно, получим неравенство W(t, <о) Wo- Требуемый результат вытекает теперь из леммы 5.5. Разумеется, справедлива и обратная

Теорема. Если всякое решение системы (5.7) удовлетворяет неравенству (5.8), то всякой ограниченной функции n(t) и любой начальной точке будет соответствовать ограниченное решение задачи (5.9).

Проверка этого факта осуществляется точно так же, как при доказательстве предыдущей теоремы.

Теорема 5.2 интересна тем, что в ее формулировке не накладывается дополнительных ограничений на матрицу А (t), кроме тех, которые обеспечивают существование решения задачи 4.1. Теорема 5.1 справедлива в случае, когда Е - банахово пространство. Теорема 5.6, приводимая ниже, значительно усиливает результат, приведенный в теореме 5.1. Однако метод доказательства теоремы 5.1, а так же и результаты и простые методы доказательства предварительных лемм, представляют самостоятельный интерес с точки зрения задачи о накоплении возмущений.

2. Обозначим через пространство функций u{t), определенных на J со значениями в £ и таких, что

u{t) Уе"А<оо.

т\\(р, а)

Согласно (5.10) имеем

е"

5 W(t, x)w„(x)rfx К. (5.12)

Легко видеть, что соответствие iiii = e"n(t) является линейным взаимно однозначным соответствием между и Lp, сохраняющим норму. Так как пространство Lp = Lp является при любом р, lsg/7sgoo банаховым пространством, то такими же будут и пространства /.

в силу леммы 5.1 оператор Ф" = 5 W{t, z)u(z)dz, пере-

водящий пространство Z, в пространство Z,, будет ограниченным оператором. Это значит, что существует такая положительная постоянная К, что

II Ф» !!(«,. = vrai sup е» \ ] W(t, т) и (т) dz\K\\u (р.

(5.10)

Теорема 5.3 (М. Р е г и с [98]). Пусть выполнено условие

\ Л(т)!!</х<оо

при tO. Если можно указать р, 1 р<С такое, что для всякой функции u(t)dL решение задачи (4.1) принадлежит Z., где а>0, ЬО, то можно указать такое положительное число N, что выполняется неравенство

II "{t, ta)\\Ne<o е-". (5.11)

Докажем теорему. Пусть sup \ Л (т) rfx = Aj. В силу

(3.12) имеет место неравенство при \t - х1:

II W{t, z)\\e\ Определим далее функцию для целого /мО. ti(t) = = :s?yr при mtm-\-l, х„ =1, н„,(0 = 0 всюду в остальных точках. Очевидно, uClLp так как

m + 1

] .-II «7 (X, m)

= il S elWiz, .)""""-""H ( Oil.

Согласно (5.12) получим

II lF(i, m)\\Kee"+"e-". Если /и т «г-j-1, то II W(t, z) II II Wit, m) II II lF(/w, z) II /C/

следовательно, можно положить N = Ke-

Заметим, что мы доказали здесь теорему М. Региса, несколько усилив ее, так как, в отличие от формулировки, данной в [98], мы заменили свойство ограниченности Л (i) на всей полуоси J требованием

sup \ II л (т) II rfx = 1 < оо. (5.13)

3. В 1948 г. теорема 5.1 была перенесена М. Г. Крейном [99] на случай, когда фазовое пространство Е является банаховым пространством. Д. Л. Кучер [ЮО] получил аналогичный результат в случае, когда ii(t)C2Lp. В работе Д. Л. Массера и Д. Шеффера [94] соответствующие теоремы были рассмотрены для случая условной устойчивости. В этих работах снимается обычное требование ограниченности 1Л(<) и требуется лишь интегрируемость этой функции на любом конечном интервале. Однако чтобы получить результат, аналогичный результату георемы 5.1, авторы потребовали выполнения условия (5.13). Это условие обеспечивает равномерность асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (5.7), что соответствует независимости величины В, фигурирующей в условии (5.8), от величины о-

Формулировки теорем, приведенных ниже, так же как и доказательства этих теорем, приведены нами в соответствии с работой [94].

с другой стороны,

t m + 1