- {Ь А;- К) -\-у. Производная которой, взятая в силу системы (2.2), имеет вид v = -2ау-2К(\-а.)ху.

В областях Gj и 0$ имеем а=1 и, следовательно, ii = = - 2qv. В областях 0 и G4 имеем а.- - 1, отсюда получим ii = - 2ау -]~ АКху, но так как в этих областях ху < О, то получаем iiO всюду на рассматриваемой фазовой плоскости. Пусть \Ь\<К. Множество точек = О, в которых v = Q очевидно не содержит целых траекторий, поэтому можем применить теорему 12.2 первой главы, из которой следует асимптотическая устойчивость в целом нулевого положения равновесия. Анализ доказа1ельсгва указанной теоремы позволяет игнорировать факт разрывности производной на прямой переключения 5 и факт неединственности в отрицательном направлении оси времени.

Теперь рассмотрим функцию v - bx-y-a.Kx. Эта функция имеет разрывы на прямой 5; если ОК<Ь, то v будет определенно положительной и бесконечно большой, если же КЬ, то нетрудно видеть, что для сохранения этих свойств необходимо потребовать выполненным условие AYK- b. Легко видеть, что в силу системы (2.2) получим, вне линии переключения 5, v = - 2ау. С другой стороны, при переходе линии переключения траекторией системы функция V убывает скачком на величину 2Кх. Снова проводя рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 12.2 первой главы, придем к выводу, что любая точка фазового пространства либо попадас! непосредственно в начало координат, либо попадает на линию 5 и совершает по ней скольжение к началу координат.

Возможные обобщения указанной выше теоремы 12.2 на системы с разрывными правыми частями получил Ю. И. Алимов [64].

§ 3. Стабилизация системы третьего порядка. Условия существования скольжения

Рассмотрим уравнение третьего порядка

x-faJc-f &x-f-cx= -аАГлг, (3.1)

где а,Ь, с - произвольные постоянные, К-положительная постоянная и величина а удовлетворяет условию а1.

72 устойчивость систем регулирования ГЛ. ii

Рассмотрим функцию v=Cx-\-Ey-\-z-\-2Dxy -{-2Axz-{--f- 2Byz, и выберем закон изменения величины а так, чтобы обеспечить максимальную скорость убывания функции г» вдоль траекторий системы

х = у, p = z, z = -сх - by - az - аКх, (3.2)

эквивалентной уравнению (3.1). Так как

dv , dv dv , , , , ч ,dv dy

и так как от ч зависит только последнее слагаемое, то, очевидно, величина а должна определяться формулой a=sign х, или, что то же, формулой

а = sign (Ах 4- By 4- 2) х. (3.3)

Структурная схема рассматриваемой стабилизирующей системы изображена на рис. 12. Полагаем в рассматриваемом случае задающий сигнал ф равным нулю и L{p) = p-{-ap-{--{-bp-{-c. Исследование следящей системы с переменной структурой в случае, когда сигнал ф отличен от нуля, проведено для системы второго порядка в работе [31] и для системы третьего порядка в работах [33, 34].

Выведем теперь условия, обеспечивающие существование скольжения в любой точке плоскости 5, заданной уравнением

s = Ax-{-By-{-z = 0. (3.4)

Теорема 3.1. Для того чтобы плоскость S была плоскостью скольжения, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

А = В - аВ-{-Ь,

\(В-а)-\-а{В-аУЬ(В-а)с\К.

Если положить г = В - а, то условия (3.5) могут быть переписаны в другом виде:

fi = a + r, A = Brb, \/(г)\К,

где введено обозначение f (г) = -\-аг-{-Ьг-{-с. Перейдем к доказательству теоремы. В системе (3.2) проведем замену переменных, вводя координату s = Ax-\- By -\- z. Новая

система будет иметь вид х=у,

p= - Ax - By + s, 5= --а) + с + а/Г)х4- j(A - B-{-aB-b)y-{-iB - a)s.

(3.6)

На плоскости s~0 получим две линии:

(Л(fl - а) + с 4- /О л: - (Л - fl + afl - г»);; = О, (3.7) {А{В - а)-{-с - Юх-(А - В.{-аВ - Ь)у==0, (3.8)

разделяюп1ие эту плоскость на области знакопостоянства двух величин: R, = s при а= 1, и /?2 = 5 при л--1. Чтобы плоскость 5 была плоскостью скольжения, необходимо и достаточно, как это следует из § 1 данной главы, выполнения условий sign/?i = - sign х и sign = sign х. Так как знаки Ri и Ri зависят только от х, то необходимо, чтобы коэффициент при у в уравнениях (3.7) и (3.8) был равен нулю. Таким образом, необходимость первого из условий (3.5) доказана. Если условие (3.5) выполнено, то на плоскости s = 0 получим

s=-[f(B - a)-\-oiK]x. (3.9)

Отсюда следует, что при наличии скольжения должны быть выполнены неравенства

f(B - a)-\-KO и f(B - a)-KO,

эквивалентные одному неравенству \/{В -~ a)\s К-

Легко видеть, что условия (3.5), которые мы доказали как необходимые условия существования скольжения, являются и достаточными условиями.

Заметим следующее: если первое из условий (3.5), т. е. условие А - В - aB-Jf-b, не выполнено, то на плоскости около линии х = 0 образуется сектор, ограниченный линиями (3.7) и (3.8). Легко видеть, что в точках этого сектора траектории системы (3.2) будут прошивать поверхность 5 Однако, при достаточно большом значении К рассматриваемый сектор становится как угодно узким. Изображающая точка системы, совершая скольжение по плоскости 5, доходит до границы сектора и затем отходит несколько от этой плоскости, с тем, чтобы через малый промежуток времени снова попасть на