всех функций вида g{t) = \u{t)dt, где и (О принадлежит

пространству М, что соответствует условию sup \ и(0М<оо.

Так как g{t) J ii(t) dt, то g(t) принадлежит U. t t

Очевидно, что в данном случае имеем

x{t) = \ W{t,s)ii{s)ds.

Но так как u{s)M и x{t) - ограниченная непрерывная функция, то из теоремы 5.6 следует справедливость (7.6).

Докажем достаточность условия. Согласно (7.6) и (1.10) имеем

\\x(t)\\Be-{e4v{s), (7.7)

где vis) = y g{s).,

Оценим величину

Ф{t)==e-leЧvis).

Для этого выделим из числа t целую часть, т. е. представим t в виде t=:k-\-x, 0т<1. Следуя идее доказательства леммы 6,2, имеем

ft+i т

Если

supV§(0 = s"P [ dv{s) = h<oo.

что и дает требуемый результат.

3. Рассмотрим теперь нелинейную задачу.

Пусть закон преобразования входного воздействия задан формулой

X (О = $ Wit, S) R ix, s) ds + 5 Wit, s) dgis). (7.9)

Легко видеть, что для случая дифференцируемой функции gis) задача (7.9) эквивалентна задаче

x = Ait)x-Rix,t)iiit), xiO) = 0, (7.10)

где и it) = git).

Предположим выполненными условия (7.6) и

\\Rix,t)\\L\\x\\ (7.11)

в области D: л: j Я, О < < оо.

Предположим также, что справедтиво неравенство

Х = а -/.Б>0. ;7.12)

Теорема 7.3. Пусть

s"pV Sif) = h.

Если выполнены условия (7.6), (7.11) и (7.12), то справедлива оценка

в самом деле, имеем

II X it) II BLe \ е« х (s) ds -f Ве" \ еЧю (s),

то получим

Таким образом, оценка (7.7) принимает вид

11(01

Для функции ср (t) = II X (t) II справедливо неравенство

ср (О i5Z. 5 ср (S) ds-]-B\ edv (s). о о

в силу леммы 2.3 (неравенство (2.14)) имеем

f{t)Be-[edv{s), о

откуда получим

\\xit)\\Be-[edv{s).

Пользуясь теперь оценкой 7.8, получим требуемый результат.

Теорема 7.3 является теоремой об устойчивости по отношению к возмущениям, которые могут в частном случае быть и мгновенными.

4. Рассмотрим уравнение

x{t)=W {t, 0) х„ + 5 Wit, s) R (х, s)ds-\ Wit, s) dg is), (7.13) 0 0

где Rix, t) обладает свойством /?(0, t) = Q, g(- 0) = g(-- 0). Это уравнение соответствует задаче (7.10) с той лишь разницей, что x(0) = Xo. Предположим, что оператор Коши удовлетворяет условию

WitX, s\)=Wit,s); (7.14)

кроме того, предположим, что Rix, s) и gis) гакже являются периодическими функциями с периодом 1. Очевидно, условие (7.14) эквивалентно требованию периодичности операторной функции 4(0, входящей в уравнение (7.10).

Пусть, кроме того, по-прежнему выполнены условия (7.6) и (7.12). Вместо условия (7 11) потребуем, чтобы в области О