коэффициенты Сц при г==1, п - 2, являются знакопеременными.

Из уравнения (10.4) следует, что если XiO и о, 0, то величина х„ убывает до тех пор, пока величина а, не станет равной нулю. Если же ai<0, то величина х„ будет возрастать снова до тех пор, пока не получим равенство о, = 0. Так как попадание изображающей точки на поверхность о, = 0 происходит за конечный промежуток времени, то аналогичный вывод можно сделать и для полной системы (10.3), если только в процессе движения выполнено неравенство xjjs. Если же выполнено неравенство jxj<s, где г - достаточно малое число, то цель процесса регулирования следует считать достигнутой.

Аналогичное рассуждение можно провести и для любой из систем (10.10).

Более детальное обсуждение проблемы попадания изображающей точки на поверхность переключения будет проведено для системы третьего порядка в следующем параграфе.

4. Рассмотрим теперь более подробно движения системы (10.1), сопутствующие скольжению первого порядка. Ранее было показано, что эти движения описываются уравнением (10.4) в совокупности с условиями х,-= Х; = const при / = = 1,п-1. На оси переменной х„ рассмотрим точки

ai" = Х„ h (К) Х\ c.iXl + с,,„ 1х»„ , = О,

аГ = х„- h (К)xJ -f Ci.,xl + ... + q.„ лХп-х = 0.

Очевидно, что при достаточно большом К точки о=0 и о, =0 находятся по разные стороны от точки лг„=:0.

Величина а{х1, xli) при рассмотрении быстрых

движений является постоянной величиной. Для определенности будем считать, что xJO и а(Х1, Xn-i)0. В точках оси х„, где выполнено неравенство аО, имеем также aJO и поэтому ajO. В области Oi<0 соответственно получим О) < 0. Если же выполнены одновременно неравенства afO и о7<0, то, учитывая, что оО, из соотношений (10.2) получим oi = o и, следовательно, в этой области oiO. Таким образом, в области afO действует уравнение

--Xi,

а в области aj"<0 действует уравнение

Из любого положения на прямой Олг„ точка М движется в силу уравнения (10.4) до положения а,=:0, которое является в данном случае положением равновесия.

Если выполнено неравенство a=i{x\, x i)<0, то положением равновесия будет точка aj = 0. Если же х1<0, то точки aJ и aJ" поменяют свое положение относительно начала координат и картина останется прежней.

Так как xJ, x i в действительности медленно меняются, то медленно движется и положение равновесия, однако в момент, когда aj(xj, x5i i) или xJ меняет знак, положение равновесия мгновенно меняет свою координату, т. е. переходит из точки aj"=0 в точкуа7 = 0 или наоборот. Изображающая точка при этом меняет свое направление движения от прежнего положения равновесия к новому. Таким образом, в заключительной стадии движения изображающая точка совершает колебания между положениями aj=0 и aj"=0. Заметим, что амплитуда рассматриваемых колебаний будет уменьшаться.

В самом деле, координата х„ положения равновесия линейно зависит от остальных медленно меняющихся координат xJ, Хп-\. Изменение этих координат описывается приближенно системой (10.8). Если система (10.8) устойчива, то и точки ai" = 0, а7 = 0 будут медленно совершать движение к нулевой точке. Таким образом, из устойчивости системы (10.8) следует устойчивость системы (10.1).

Все проведенные здесь рассуждения справедливы для любой системы вида (10.10). Так как процесс, описываемый уравнением (10.11), устойчив, то, рассматривая последовательно системы возрастающего порядка, убедимся в устойчивости системы (10.1).

5. Ранее мы определили скольжение второго порядка как движение, описываемое системой (10.9). Система (10.9) была получена в результате игнорирования быстрых движений системы (10.8), описывающей скольжение первого порядка. Представляет интерес изучение скольжения второго порядка не косвенным образом, а непосредственно в фазовом пространстве системы (10.1) с учетом быстрых движений. С этой

б Е. А. Барбашин

целью проведем в системе (10.1) замену координат yXj, (г = 1, ..., п - 1),Уп - "Хп, = VT, v" = (К). Новая система примет следующий вид:

= - с„„у„ - 2 "о*-* ~ l-

(10.13)

Предположим далее, что lim Ъ\ (К) \K) = 0. При v = О полу-чаем систему второго порядка:

-lyJi sign a„j/,=y? = const при г= 1, n - 2,

(10.14)

описывающую быстрые движения. Поверхность ai = 0 изобразится на плоскости ( у„ j, у„) линией, составленной из полупрямых

=Г-Уп + с.пУп1 + < II i-ty* + (/С)у?) = о.

k = 2 п-2

ft = 2

(10.15)

При /С достаточно большом прямые aJO и 0=0 лежат по разные стороны от начала координат. Поверхности аО будет соответствовать линия, составленная из отрезков прямых

4 =Уn + h {К)у\ + 2 Ci,yl = О,

ft = 2 л-2

(10.16)

Очевидно, при /С достаточно большом линии 03= О и 03=0 лежат по разные стороны oi начала координат.