3) 1{х-у) = 1х-1у

4) (X-)-[x)x = Xx+[iX

ГЛАВА III

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Банахово пространство

1. Рассмотрим некоторое множество Е, в котором введены две операции: сложение элементов и умножение на число. Пусть эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1) X -\-у =у X (коммутативность сложения),

2) {ху)-\-Z = X-{-(у-\-Z) (ассоциативность сложения),

(дистрибутивность умножения относительно сложения),

5) X (fix) = (X[i) X (ассоциативность умноже-

ния),

6) существует в Е такой (нулевой) элемент О, что Ох = О,

7) 1 .х = х.

Предположим далее, что для каждого элемента х из С определено неотрицательное число х , называемое нормой элемента х. Пусть норма х удовлетворяет следую[цим условиям:

a) х =0 эквивалентно х = 0,

b) Хх II = Х I 11 X II (однородность нормы),

c) --hj II II - II + II II (неравенство треугольника).

Если в множестве £ введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие условиям 1-7 и если, кроме того, определено в соответствии с условиями а, Ь, с понятие нормы, то множество Е назовем линейным нормированным пространством.

Простейшим примером линейного нормированного пространства может служить пример конечномерного вектор-

ного пространства. Примеры введения нормы в этом про-с гране гве были приведены в § 1 первой главы.

Нормированное линейное пространство Е назовем полным, если из х„ -х„, 0, {т, псо) следует сходимость по норме последовательности к некоторому элементу

Хо этого пространства. Полное линейное нормированное пространство будем называть банаховым пространством или В-пространством.

Рассмотрим два линейных нормированных пространства и Е. Пусть на некотором подмножестве X пространства £) определена некоторая функция F{x) со значениями в пространстве £2, иначе говоря, пусть задано некоторое отображение F {х) множества X в пространство Е. Отображение F{x) будем называть в дальнейшем оператором. В частном случае пространства Е\ и могут совпадать. Оператор, отображающий на числовую ось, называется функциона-ло.ч.

Оператор F{x) называется линейным, если он является аддитивным и однородным, т. е. если выполняется соотношение

F (ах, + рхз) = 7.F (X,) + F (х),

где а, р - скалярные величины.

Оператор F{x) называется «ея/?е/?б/в«бл, если он каждую сходящуюся (по норме в £,) последовательность элементов переводит также в сходящуюся (по норме в Е последовательность элементов. Оператор F{x) называется ограниченным, если он переводит каждое ограниченное (по норме) множество в ограниченное множество.

Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен ([71]). Для линейного непрерывного оператора F можно указать такое положительное число К, что для всех элементов xCI£i> на которых оператор F определен, имеет место неравенство

iF(x)/Cix. (1.1)

Наименьшее из чисел К, при которых выполняется неравенство (1.1), называется нормой оператора F и обозначается через II II . В дальнейшем для линейного оператора будет часто использоваться запись F {х)= Fx.

ft=l

ft=l

Таким образом, sup I «1* 1 = .

Легко видеть, чю норма линейного ограниченного оператора может быть определена cooi ношением

1111= sup II Fx 11. (1.2)

2. Известно, что линейный опера юр, действующий в кoнeнoмepнoм векторном пространС1ве £„, может быть задан матрицей. Таким образом, соотношение (1.2) может служить определением нормы матрицы, эга норма согласована с некоторым заданным способом введения нормы в пространстве £„. Рассмотрим примеры определения нормы матрицы А, преобразующей векюрное пространство £„ в свою часть.

Пример 1. Пусть норма вектора в я-мерном векторном пространстве £„ определяе1Ся формулой

х=(2х=)Ч (1.3)

1= I

и пусть Л - квадратная пуп - матрица с элементами а,/. Легко видеть, что

II Ar = sup Axr = sup 2 (2 а,л) = 5ир(Л*Лх,х).

11x11=51 lllISI fi, llxlsl

В силу неравенства (10.3) первой главы величина Л равна в этом случае наибольшему собственному числу квадратичной формы (Л*Лх, х). Заметим также, что для нормы матрицы Л имеет место в рассматриваемом случае простая оценка

2 (1.4)

Пример 2. Пусть норма вектора задается формулой lxl=maxxj. (1.5)

Имеем, очевидно,

II Лх=5ир I 2 «.Л <llllsup 2 l«.*l = i•