~ L Г {у,.....

Задача В. При заданных векторах найти

систему функций yi{t), у{t), тп, минимизирующих 8.

Прежде всего следует заметить, что выбор значений функций Уа(0 в данный момент t не влияет на выбор значений этих функций в любой другой момент времени. Поэтому задача сводится к минимизации величины

я т

Теперь уже в качестве гильбертова пространства Н следует рассматривать пространство л-мерных векторов с, а в качестве подпространства будет фигурировать подпространство, порожденное векторами .....Сщ.

Согласно (8.8) получаем систему для определения (f):

2 yk it) ic„ Cj) = (г (О, Cj), / = 1, 2, ..., /л. ft=i

Здесь выражения (с, Cj), {r{t), cj) означают скалярные произведения соответствующих векторов в обычном смысле. Согласно (8.9) получим

8=Д(01Р=-Г Г(„ r{t))dt.

Задача имеет простую геометрическую интерпретацию. Обозначим через плоскость, порожденную векторами с,.....с.

В л-мерном пространстве Н задана кривая z = r{t)\ требуется найти кривую

г= сУкЦ),

которая имеет наименьшее среднеквадратичное отклонение

Квадрат ошибки приближения в данном случае будет равен

от заданной кривой. Решение задачи состоит в том, что каждую точку искомой кривой мы получаем как проекцию на плоскость соответствующей точки первой кривой z = r(t). Отсюда следует, что решение задачи не изменится, если в качестве порождающей системы векторов Cj, ..., с„ возьмем эквивалентную ей ортонормированную систему. В этом случае получим

yj(t) = ir(t), cj), (8.13)

= 5 (О dt - J]ir (t). с,Г dt. (8.14)

о ;=1

Задача С. Найти оптимальную систему векторов Cft и функций {t) минимизирующих 8.

Рассмотрим матрицу В, элементы которой имеют вид

biu\ri{t)ru it)dt,

где г,-(О - проекции вектора r{t).

Так как матрица В симметрична, то ее собственные числа вещественны. Более того, собственные числа матрицы В неотрицательны. В самом деле, матрица В является матрицей знакоположительной квадратичной формы

/(X) = 2 ft,.,x,x, = Ц 2 г, (О X, у.

i,k=i о ft=l

Отсюда согласно § 10 первой главы выводим, что наименьшее собственное число Х„, как минимум формы 1{х) на единичной сфере, должно быть неотрицательным. Расположим собственные числа матрицы В в порядке убывания

Xi 2 ... Х„ 0.

Каждому собственному числу Х соответствует по крайней мере один собственный вектор с- Известно ([5], стр. 20), что систему собственных векторов можно ортонормировать. Таким образом получим ортонормированную систему собственных векторов матрицы В.

Теорема 8.1. Ортонормированная система собственных векторов Ci, матрицы В является оптимальной системой управляющих векторов, причем, если система управляющих функций у {t) выбрана

согласно (8.13), то

5= 2 К. (8.15)

В самом деле, если система векторов Cj, с„ орто-нормирована, то согласно формуле (8.14) имеем

b=\r\t)dt- 2 [(с, nmt.

о а=1 О

Необходимо систему векторов подобрать таким образом, чтобы сумма J

2 \{с„ r{t))4t

ft = I о

была наибольшей. Рассмотрим первое слагаемое этой суммы: т

h = I{cu) = \{Ci, r{t))4t =

я 7 я

= S (5 ri{t)rk{t)dtci,cu)= S -i/Cift-

i, ft = l О i, = l

Здесь - проекции вектора с,-. Задача сводится к тому, чтобы найти максимум квадратичной формы /(и) при условии

i = l

Согласно § 10 первой главы искомый максимум равен наибольшему собственному числу X, и достигается для собственного вектора Cj, отвечающего этому числу. Чтобы сделать максимальным следующее слагаемое, т

k = \{c„ r{t))4t = I{c.J о

при дополнительных условиях (Cj, c<i) = 0, с=1, нужно взять собственный вектор Cj, отвечающий следующему собственному числу. Согласно экстремальной теории квадратичных форм ([5]), максимум будет равен Х. Если \i = \, то в качестве с следует выбрать среди бесконечного множества собственных векторов кратного корня X, вектор.