(5.13) получается из системы (5.11), если в последней положить а = - 1 и / (г) = АГ.

Так как все корни уравнения (5.12), помимо очевидного Х = г, лежат в левой полуплоскости, и так как эти корни являются также корнями характеристического уравнения системы (5.10), то отсюда и следует истинность утверждения теоремы.

В частности, если уравнение +••• +n-i =

имеет только корни с отрицательной веп1ественной частью, то при г = 0 (или даже при г<е, где е - достаточно малая величина), условия теоремы 5.2 выполнены и нулевое решение системы (5.10) будет асимптотически устойчивым.

Перейдем теперь к формулировке и выводу условий устойчивости нулевого решения основной системы (5.11).

Теорема 5.3 (Е. И. Геращенко [39]). Если выполнены условия скольжения (5.5) гг (5.6), и при этом все корни уравнения (5.12) имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (5.11) будет асимптотически устойчивым при любых начальных возмущениях.

Докажем теорему. Из условия теоремы следует асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (5.10). Кроме того, в рассматриваемом случае очевидный корень Х=г уравнения (5.12) должен быть отрицательным.

В силу теоремы 9.1 первой главы существует определенно положительная квадратичная форма v{Xi, ... , дг„), такая, что ее производная, взятая в силу системы (5.10), будет равна функции w== - xl -... - x-i. Рассмотрим функцию v = Vi(Xi, ... , x„ i)-\-~ As, где АО. Производная

по времени этой функции, взятая в силу системы (5.11), будет иметь вид

v = w-{-j s-i-Ars" - A[f(r)-4-4.K]XiS. (5.14)

О-л-i

Очевидно, выражение A[f (г)-]~а.К] XjS в силу условий (5.2) и (5.6) всегда будет положительным, так как

Л [ / (г) + а/С] X, S = Л I 1 [4 +/Г

и выражение в квадратной скобке положительно.

(6.3)

(6.4)

В силу теоремы 9.1 первой главы существует определенно положительная квадратичная форма Vi (х,, ... , лг„).

С другой стороны, квадра1ичная форма w -- -f--

-\~ Ars, как это следует из критерия Сильвестра, при достаточно большом значении А будет определенно отрицательной формой переменных Хх, ... , х„ х, s. Таким образом, асимпютическая устойчивость в целом нулевого решения системы (5.11) следует из теоремы 12.1 первой главы.

Мы уже видели, что требование отрицательности вещественных частей всех корней уравнения (5.12) эквивалентно требованию асимшотческой усюйчивости нулевого решения системы (5.10) при г<;0. Таким образом, теорема 5.3 может быть сформулирована следующим образом.

Пусть выполнено условие г<0. Нулевое решение системы (5.11) будет асимптотически устойчивым в целом, если этим же свойством обладает нулевое решение системы (5.10).

§ 6. Стабилизация системы с огранич.ителем в критическом случае одного нулевого корня

1. Рассмотрим уравнение

xW -f ... -f a„ xx = - acp (x), (6.1)

ц>{х)фО при ХфО, I а I 1.

Предположим, что уравнение

Х-1 + а,Х- + ... + а„ , = 0 (6.2)

имеет только корни с отрицательными вещественными частями. Уравнение (6.1) эквивалентно системе

л-/ = х,-1, /=1, ... , «-1, Хх=Х,

х„= - a„ iX -... - а,х„ - аср (х,).

Рассмотрим систему

=->i+i. =2.....п-1,

х„= ~ a„ ix -... - aix„.

Это последнее условие обеспечивает устойчивость при любых начальных возмущениях для любой функции ср (х), удовлетворяющей при хфО неравенству ср(лг)хО. Обычно устойчивость указанного типа называют абсолютной устойчивостью.

Зададим теперь функцию э {х) следующим образом: ср {х) = Кх при \Kx\rsH, ср[х) = /УsignX при \Кх\Н,

производная которой, взятая в силу системы (6.4), будет равна

W=~xl~... - Xn.

Рассмотрим функцию

(1.....x„) = Vi(Xi, .... x„) + jy,

у = a„ iXi + а„ 2Х2 +... 4- aix„ , + х„.

Вычисляя производную функции V, в силу системы (6.3) получим

v = w-[y]a,f(xi), (6.5)

так как производная величины у, взятая в силу системы (6.3\ тождественно равна - a-f (х,). Мы видим, что если положить

signa = sign(+j;jtp(x), (6.6)

то будут выполнены все условия теоремы 12.1 первой главы; эти условия обеспечивают асимптотическую устойчивость в целом нулевого решения системы (6.3).

Если величину а искать исходя из требования, чтобы скорость убывания функции v вдоль траекторий системы (6.3) была наибольшей [66, 67], то получим

a=sign4-j; tp(x). (6.7)

Наиболее типичным является случай, когда функция 9(лг) удовлетворяет условию ср(дг)дгО при хфО; формулу (6.7) можно переписать тогда в виде