g = -lXlsign/?-p%Klsign7?-

-pFiX, p-Y, fZ, px).

(8.7)

Покажем сначала, что увеличивая К, можно получить скользящий режим на всей поверхности 6. В самом деле, беря производную функции s{x, у, z) = z - <{х, у) в силу системы (8.2), получим

= t)-{K\x\-KAy\)gs> (8.5)

где Ф (х, у, S, t) = - F (х, у, s -j- ср (х, у), t) - cpij; - ср (s--ср (X, у)). Поскольку для функций F {х, у, Z, t) и ср(х, з;) выполнены соотношения а), Ь), то функция Ф{х,у, s, t) также удовлетворяет аналогичному а) неравенству:

\Ф{х, у, S, t)\A\x\-B\y\C\s\, (8.6)

где Л = а + сУИ -j- NM, B = b-{-M-\- cN-\- iSP, C = c-\-N. Вычислим предельные значения производной s при приближении изображающей точки системы (8.2) к поверхности 5:

ит = Ф{х,у, О, 0 + /Сх+А:,з>

У(К-А)\х\-{Кг~В)\у\

Пш 8 = Ф{х,у, о, t)-K\x\ - Ki\y\<

(А-К)\х\-{В~Кг)\у\

при всех значениях х w у.

Для того чтобы обеспечить режим скольжения на всей поверхности 2=:ср(х, у) достаточно, очевидно, потребовать выполнения неравенств КА и К\В.

Покажем теперь, что для любой ограниченной области О фазового пространства можно подобрать такое значение /Со, что при ККо любая точка M{t) области О, двигаясь с ростом t по траектории системы (8.2), попадет на поверхность 5. Так же как и ранее, проведем в системе (8.2) замену переменных t = px, Х = х, Y=py, Z=p°z, p=Kh, Новая система будет иметь вид

При большом значении К величина р играет роль малого параметра, поэтому упрощенная система при р = 0 запишется в виде

Ж = f = -Xsign/?. (8.8)

Систему (8.8) мы уже изучали при доказательстве теоремы (7.1). Любая точка фазового пространства, двигаясь по траектории системы (8.8), попадет на поверхность 5 за конечный промежуток времени. Исключение составляют лишь точки фазового пространства, лежащие на интегральной прямой Х=- Y=:Z, они приближаются к началу координат асимптотически.

Из условия (а) следует ограниченность в области О величины pF (X, р~ Y, p~Z, рт) при малых значениях р. Выбирая р достаточно малым и используя известные соображения, вытекающие из свойства непрерывности решений, по параметру, приходим к выводу, что все точки области О, за исключением достаточно узкой трубки, описанной около прямой Х=- Y=Z, двигаясь в силу системы (8.7), попадут на поверхность 5 за конечный промежуток времени, а точки указанной трубки либо выйдут с ростом времени из этой трубки и попадут на 5", либо останутся в ней и, следовательно, тоже попадут на 5" за конечный или бесконечный промежуток времени.

Попав на поверхность 5", изображающая точка будет двигаться по ней в силу системы (8.3). Из рассмотрения примера 4 в § 14 первой главы следует, что условия (с) обеспечивают асимптотическую устойчивость нулевого решения этой системы. Таким образом, показано, что любая точка области О будет асимптотически приближаться к началу координат. Чтобы завершить доказательство теоремы, остается лишь, ссылаясь на лемму 4.5, установить факт устойчивости по Ляпунову. Очевидно, рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве теоремы 4.1, легко приводят нас к требуемому заключению.

Примечание 8.1. Пусть Xq>О, уО, ср(ху). Пользуясь результатом лемм 4.1, 4,2 и 4,3, нетрудно получить для системы (8.2) оценку времени попадания Т точки М{Х(), yt), z) на поверхность скольжения S. Эта оценка

имеет вид

7- °~Irl?° (1 + 0(р)).

где через 0(р) обозначена величина порядка малости р. Если Хо> Уо, - числа произвольного знака, то общее время пребывания изображающей точки в области х S, z Ф <f {х, у) не превосходит величины

71 = з1:=(1 + 0(р)).

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение х-\-Р(х, X, Jc)-\-

-\-(K\x\-\-Ki\x:\ + K,\x\)sign(Jt-(x, х))=0, (8.9)

где функции F(x, х, х), ср(х, х) удовлетворяют снова условиям а), Ь), с). В отличие от предыдущего случая, полагаем, однако, функцию F(x, х, х) не зависящей явно от t Уравнение (8.9) эквивалентно системе

х=у,

Р = z,

i = ~F(x, у, z)-iK\x\ + Ki\y\ + K,\z\)X

Xsign(2-(p(x, у)). (8.10)

Теорема 8.2. Если функции F (х, у, z) и <f (х, у) удовлетворяют условиям а), Ь), с), а параметры К, К\, Ki выбраны согласно неравенствам

Ка, /Tift+l-fM, K-c-N, (8.11)

то нулевое решение системы (8.10) будет асимптотически устойчивым в целом.

Докажем теорему. Рассмотрим новую координату s = = z - ср(х, у), и перепишем систему (8.10) в новых координатах X, у, s:

£ = у,

р = S + ср (X, у), S = -F{x, у, s--cp(x, у))- (8.12)

- ср; у -cp;(s-(-cp(x, у)) -

- (/Сх 1 4-/с, I1-I-/СаI S4-ср (X, j;) I) sign S.