и{х, у) = 4 \ \ fix) a~!-fix)y]dydx.

Условие (Ь) обеспечивает положительность внутреннего интеграла, а условие (а)-положительность функции и(х, у). Итак, W (X, у) является определенно положительной функцией аргументов х я у ц, следовательно, функция г»(х, у, z) =

= wix, У)-\-2 является определенно положительной функцией аргументов х, у, z.

Таким образом, мы находимся в условиях применения теоремы 12.2, из которой следует, что условия а), Ь), с) обеспечивают устойчивость в целом нулевого решения системы (14.10).

Пример 6. (Е. И. Железнов [21]). Рассмотрим уравнение "x-\-ax-\-fix)x-\-cx = Q. (14.11)

Вводя новые переменные

у = X -\- ах \f ix) dx,

z = X -\- ах,

получим систему

x = z~ax, р= - сх, i=y-Fix), (14.12)

Р{х)= \fix)dx.

Рассмотрим функцию

v= F(x)dx-xj/ + y + ?,

вычисляя производную функции V в силу системы (14 12), получим

г Г(х) v = - а -

Условия а) а>0, с>0, Ь) a/(x)>c-j-e, где е>0,

положительна при х Ф О, у фО. В самом деле, имеем

§ 141 Примеры 57

обеспечат нам устойчивость в целом нулевого решения системы (14.12).

В самом деле, из условия (Ь) по теореме о среднем значении следует, что

отсюда получим знакоотрицательность производной ii.

Чтобы показать знакоопределенность функции v, представим ее в следующем виде:

Условие (b) очевидно обеспечивает положительность интеграла, входящего в запись функции г», а условие (а) обеспечивает положительность обоих слагаемых. Легко также доказывается, что на плоскости х = 0 нет целькх траекторий.

Пример 7. (Е. А. Барбашин [18]). Построим функцию Ляпунова для системы

где Л (Ofc) 0; > 0 при о* 7 О, о* == 2 = 1, 2,..., я,

m = l

- постоянные, рц, могут быть функциями координат, параметров и времени. Рассмотрим функцию

п о

<• = 1 и

Очевидно, что эта функция будет определенно положительной и, кроме того,

* = 2 2 *Ы/„(а„),

т, *=1

Таким образом, ii будет определенно отрицательной, или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма

2 ЬктЧЧт-т. k = \

Как известно, критерий Сильвестра и критерий знакоотри-цательносги легко переносятся на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому эти критерии с успехом могут быть здесь использованы.

Заметим, что перечень указанных интересных примеров может быть значительно продолжен. Подробные библиографические указания можно найти в докладе [18]. Существенным критерием ценности построенной функции Ляпунова может служить требование, чтобы достаточные условия устойчивости, вытекающие из рассмотрения полученной функции Ляпунова, были бы в линейном случае и необходимыми условиями.

Мы не останавливаемся здесь также на интересных проблемах абсолютной устойчивости нелинейных систем. Исчерпывающее изложение этих вопросов читатель найдёт в монографиях А. И. Лурье [22], А. М. Летова [23], М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [24].