скалярного аргумента со значениями, представляющими собой 5-множества пространства R. Траектории системы (3.7), в отличие от траекторий системы (3.6), задаются в начальный момент не точками, а, вообще говоря, некоторыми б-множествами пространства R, и представляют собой трубки, расположенные в этом пространстве. Траектории - воронки уравнения (3.6) - включаются в число траекторий уравнения (3.7), поскольку точки пространства R являются, очевидно, S-mho-жествами.

Если считать X и f{X, t) не б-множествами пространства /?, а элементами пространства E{R}, то дифференциальное уравнение (3.7) будет дифференциальным уравнением с однозначной правой частью в банаховом пространстве, и к этому уравнению может быть применена полностью вся теория, развиваемая в данной главе.

5. Системы со случайными параметрами. Рассмотрим в конечномерном евклидовом пространстве R дифференциальное уравнение

x=fix,t, rit)), (3.8)

где правая часть зависит от случайной функции ri(t). Очевидно, решение уравнения (3.8) также будет случайной функцией времени. Как известно, случайная величина может быть определена как измеримая функция, определенная на некотором пространстве выборок Q (или пространстве элементарных событий). Если в линейном пространстве случайных величин определена каким-либо образом норма, то дифференциальное уравнение (3.8) превращается в дифференциальное уравнение, заданное в линейном нормированном пространстве Е, элементы которого являются случайными векторными величинами. При этом в качестве начальных векторов при решении задачи Коши следует брать не только детерминированные векторы, но и любые другие случайные векторы из Е. Интеграл и производную от случайной функции скалярного аргумента t следует понимать, как было показано в § 1 данной главы.

В частности, если в качестве квадрата нормы случайного вектора брать математическое ожидание квадрата длины вектора, то понятие производной и интеграла случайной величины совпадает с общепринятым.

6 Е. А. барбашин

§ 4. Задача о накоплении возмущений на конечном интервале времени

Ранее было показано, что решение задачи Коши

x = A(t)x-irii(t), x(U) = Q (4.1)

может быть представлено формулой t

x(t) = \W(t,z)ii{x)dx, t,Q, (4.2)

где W{t, x) = и(t) (x) - оператор Коши.

Функцию и (t) будем рассматривать как элемент некоторого банахова пространства В. Рассмотрим типичные способы задания нормы в этом пространстве. Обозначим через J множество чисел Ot<co.

1. Пространство С определим как пространство ограниченных непрерывных на J функций с нормой

II н II с = sup II» (О II . (4.3)

2. Пространство Lp - это пространство (измеримых по Бохнеру ([73], стр. 85) функций u{t) с нормой

\\и\\р = {\ \\ и it)\\Pdt)4p<::ОО. (4.4)

в первую очередь нас будут интересовать здесь случаи 1, р = 2.

3. Пространство Л1„ определим как пространство функ-

ций, для которых интеграл и (х) р dx существует и рав-

номерно ограничен при любом t;>iO. Норму в Мр зададим следующим образом:

HU=sup( J \\u{x)\\Pdx)lp. (4.5)

Наиболее интересный случай это снова случай р = I н р=2. В работах Л. Массера и Д. Шеффера 94, 95] подчеркнута особо важная роль пространства M = Mi, которую оно играет при изучении вопросов устойчивости в банаховых пространствах.

*) Функция u(t) называется существенно ограниченной па У, если можно указать постоянную величину о О такую, что множество точек, где выполняется неравенство и () > с, имеет меру нуль; vrai sug II «(/) II есть точная нижняя граница таких чисел с.

4. Пространство Со будем рассматривать как подпространство функций из С, обладающих свойством lim гг()=0.

5. Через Z-oo обозначим пространство (измеримых по Бохнеру) функций tt(t), существенно ограниченных на J. Норму определим по правилу *)

H(i;) = vrai sup II н(0. (4.6)

Заметим, что при lsg/7sgoo имеет место соогнощение

l«(OllM<ll"(OllMpll"IU (4-7)

Для /7 = оо неравенство (4.7) очевидно, так как

\ «(T)fl!TII«(0!U

При /7<оо справедливость неравенства (4.7) следует из неравенства Гёльдера ([71], cip. 64)

I «(x)rfx=M \\a(z)\\Pdx)4\\u(t)\\p. I t

Если вместо полуоси J взять отрезок = где оО> Ю- определяя аналогичным образом норму, получим пространство B{t i) (например, C(t t), Lp{t i,) и т.д.).

В дальнейшем будем считать, что функция x(t), определенная соотношением (4.2), всегда принадлежит пространству С. В этом случае формула (4 2) задает линейный оператор Ф, переводящий пространство В в пространство С. Если вместо полуоси J рассматривать отрезок tf,stti, то оператор Ф превращается в линейный оператор Ф(„, действующий на подпространстве В (t ti).

Очевидно, что справедливо соотношение

sup \\x{t)\\\\Ф(tф )1нв„„, (4.8)

Таким образом, зная величину нормы оператора Ф(о> i) или, в крайнем случае, зная оценку этой нормы, мы можем