совокупности, в этом случае полагаем

оо t

V g{t) = snyg{s).

Известно ([73], стр. 73), что если Е является банаховым пространством, то функция g{t) с ограниченной вариацией может иметь не более счетного числа точек разрыва, и в любой точке промежутка [а, р] существуют ее односторонние пределы.

Дадим теперь определение интеграла Стилтьеса. Пусть и(t) - непрерывный по t линейный оператор, переводящий элементы £ в £, и пусть g(t) - функция с ограниченной вариацией на отрезке [а, р].

Составим интегральную сумму вида

где точки 4(1, = о, i„ = p) осуществляют разбиение отрезка [а, р]. Если существует предел S„ при я оо, sup t..i -

-1\-0, не зависящий от способа разбиения отрезка [а, Р] на частичные отрезки, то будем говорить, что этот предел является обобщенным интегралом Стилтьеса от оператора U{t) по функции g(t). Введем обозначение для таким обра-

зом введенного интеграла U (t) dg.

Нетрудно проверить, что имеет место неравенство

\\\U{t)dg\\M\J g{t), (1.9)

где Al = sup II Uit) II.

Рассмотрим скалярную функцию v(t) = g{t). Легко

видеть, что имеет место также неравенство

\\uit)dg\\l\\Uit)\\dv, (I.IO)

где интеграл в правой части есть обычный интеграл Стилтьеса с интегрирующей функцией v(t).

§ 2. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве

1. Пусть каждому вещественному значению t поставлен в соответствие оператор X(x,t), переводящий простр?нство Е в себя. В этом случае можно рассматривать дифференциальное уравнение

х = Х(х, О, (2.1)

где через х обозначена, как обычно, производная абстра14т-ной функции x(t) по t.

Очевидно, что решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальному условию x(ti,) = x должно быть также решением интегрального уравнения

x(0 = x„-f $ Xixit), t)dt (2.2)

Обозначим через D область лг - лг„ Ц sc: г, \ t - J «с 7, и предположим, что в этой области операторная функция X(x,t) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица

\\Xix,t)-X(y,t)\\L\\x-y\\. (2.3)

В силу непрерывности Л(лг, t) функция X (х„, t) \\ будет ограниченной на отрезке \ t - 1 7 и пусть Л1о== sup X (xt) Ц на этом отрезке. Из условия Липшица имеем

\\Х{х, t)\\\\X(x„ t)\\+L\\x-x,\\M,-\-rL.

Таким образом, полагая М = M-\-rL, получим в области D

\\X{x,t)\\M. (2.4)

Приведем теперь, опираясь на принцип сжатых отображений, простейший вариант теоремы существования и единственности решения уравнения (2.1).

Теорема 2.1. Уравнение (2.1) при указанных выше условиях имеет единственное решение х{t), удовлетво-ряюш,ее условию лг (о) = лг,,; это решение определено на интервале \ t - I <С гМ".

Для доказательства теоремы рассмотрим оператор

A{x{t)) = x, + \ X{x{t),t)dt,

x{t)\L= sup \xit)

\t-to 1

будет, очевидно, банаховым пространством. Из условия (2.3) следует

\\Aix(t))-A(yit))\\L\t-t,\ II x{t)-y(t)\],

а из неравенства (2.4) получим

\\Aix{t))-x,\\Mit-t„).

Если положить I - 01 гМ~, то получим II А (х (t)) - - Хд llg =sS г и, кроме того,

II А (X (0) -А(у (t)) 11 < а II X (О - у (О I Ic-

гяе а= rLM~ = rL(Mf,-\-rL)~ <1. Таким образом, оператор А переводит шар х (t) - Хд г банахова пространства в себя и удовлетворяет условиям теоремы 1.2.

Доказанная теорема утверждает существование решения лишь на интервале \ t~tQ\<d, где й=гЛ1"; беря конец интервала за исходную точку, можем продолжить решение и далее, однако, нет гарантии, что такое продолжение возможно на весь бесконечный промежуток времени. Очевидно, что В случае непродолжаемости траектория выходит при ограниченных значениях t за пределы любой ограниченной области пространства Е-

Уточним последнее утверждение. Пусть решение х() при tt не выходит из некоторой области d, заданной

неравенством заданной неравенством

< Ги где Ti < г. Пусть в области О, X - Хд II <г, выполнено при д условие (2.3) и, кроме того, условие

(Хд,0 =s:iV<oo. (2.5)

Из условий (2.3) и (2.5) следует, что ЛГ(х, О Л1 при tto, где M = N-rL

Очевидно, В любой момент времени, пока траектория находится в области Gi, ее можно продолжить снова на промежуток времени d=rM~, не зависящий от момента времени, В который мы осуществляем продолжение. Таким образом, В данном случае решение может быть продолжено на

переводящий непрерывную функцию x{t) также в непрерывную функцию. Пространство С непрерывных функций x{t) с нормой