Главная страница  Метод функций Ляпунова 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [ 59 ] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72]

тениях определяется характером поведения системы при постоянно действующих возмущениях.

ОIметим еще следующий факт. Выше мы предполагали всюду, что линейный оператор A[t) является ограниченным оператором. Это требование, по существу, нужно было только для того, чтобы обеспечить ограниченность оператора, заданного формулой (4.2). В настоящее время появилось много работ, в которых снимается требование ограниченности оператора A{t). Полученные таким образом результаты могут быть непосредственно применены к исследованию вопросов устойчивости решений уравнений в частных производных [106, 107].

§ 6. Теоремы об устойчивости решений нелинейных уравнений

1. Рассмотрим уравнение

x=A{t)x-R{x, t), (6.1)

где A{t)-линейный ограниченный оператор, непрерывный по t, функция R{x, t) удовлетворяет в области D: х\\Н, О <;оо условию

\\R(x, t)\\L\\x\\. (6.2)

Обозначим через W{t, т) оператор Коши уравнения

x=A{t)x, (6.3)

и предположим, что имеет место неравенство

II W{t, U)\\ Be--t-<o\ (6.4)

где а, fi - положительные постоянные, не зависящие от t. Напомним, что условие (6.4) есть условие экспоненциальной устойчивости нулевого решения уравнения (6.3).

Теорема 6.1 (об устойчивости по первому приближению). Если выполнены условия (6.2) и (6.4) и если, кроме того, постоянные а. В, L удовлетворяют неравенству

K = a. - BLO, (6.5)

то нулевое решение уравнения (6.1) будет экспоненциально устойчивым.



В самом деле, используя формулу Коши, можем записать интегральное уравнение

x{t)= Wit, t,)x,-r\ W{t, x)R{x, t:)dx, (6.6)

эквивалентное уравнению (6.1).

Из условий (6.2) и (6.4) получим оценку:

II xit) \]Ве-(-к> II Хо II +5 BLe--- \\x{s) \\ ds. (6.7)

Если ввести обозначение 9 () = е jc ( , то из (6.7) следует

f{t)Beo \\x,\\-BL \f{s)ds,

откуда по лемме 1.1 первой главы получим

9(0<e«M<-W5e"o II Хо.

Таким образом, имеем

11(0 II <5е(й-»<-оХо. (6.8)

Так как BL-а<0, то и получаем требуемое свойство экспоненциальной устойчивости.

Очевидно, неравенство (6.8) имеет место только Для тех jco, которые лежат в области х s£ Я, т. е. в области, в которой выполнено неравенство (6.2). Уменьшая Н, можно уменьшить величину L, входяшую в указанное неравенство, и тем самым можно обеспечить выполнение условия (6.5). Таким образом, величина области притяжения нулевого решения уравнения (6.1) зависит в конечном счете от величин а и Д входяших в условие (6.4) экспоненциальной устойчивости уравнения (6.3).

Наряду с линейным оператором A{t) рассмотрим теперь другой линейный оператор, F{t).

Следствие. Если выполнено условие (6.4) и неравенство

F(0</. (0<оо), и если, кроме того, величины а, В, L удовлетворяют



(3:0 оо

Определение. Пусть для любого е>0 можно подобрать положительные числа hub такие, что для решений уравнения (6.10) имеет место неравенство \\x{t)\\<z при tQ, если только [х(0)<8 и выполнено одно из условий:

а) hoh; b) hih; с) hh.

В этом случае будем говорить, что нулевое решение уравнения (6.1) устойчиво при постоянно действующих возмущениях ограниченных (в случае а)), ограниченных в среднем (в случае Ь)), ограниченных в среднеквадратичном (в случае с)).

Очевидно, перечисленные выше случаи а), Ь) и с) отвечают оценкам постоянно действующих возмущений по норме соответственно пространств Lx,, М и Л1..

условию (6.5), то нулевое решение уравнения

x = {A{t)F{t))x (6.9)

экспоненциально устойчиво.

2. Рассмотрим теперь вопросы устойчивости нулевого решения уравнения (6.1) при постоянно действующих возмущениях. Наряду с уравнением (6.1) рассмотрим уравнение

x=A{t)x-\-R{x, t)u{x, t). (6.10)

Предположим, по-прежнему, что в области D выполнены условия (6.2), (6.4) и (6.5). Кроме того, предположим, что в области D функция и{х, t) удовлетворяет неравенству

\\и{х, t)\\r{tl (6.11)

где г it) - функция, интегрируемая на любом конечном интервале времени. Функцию и{х, t) будем рассматривать как постоянно действующее возмущение. Введем обозначения

/2o = supr(0. /?i = sup \ Г{1)(1х,




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [ 59 ] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72]

0.0648