Имеем

\\y(.t)~xit)\\\\yO-x4\+{{\\Xiy, t)~X(x, t)\\ +

+ \\Riy, t)\\}dt. (1.10)

Используя неравенства (1.6) - (1.8), получим

II У (О - X (t) IK 8 + ( + Z. II (О - X (О II} dt.

Нужная нам оценка непосредственно вытекает теперь из леммы 1.1.

Отметим частные случаи. Если возмущены только начальные условия, а правые части неизменны (случай действия мгновенных возмущений), то имеем ц=0 и оценка (1.9) имеет вид

>.(0-х(0<8/*-Ч

Отсюда, в частности, видно, что, выбирая 8 достаточно малым на отрезке 0 0 ~Ь > удовлетворить неравенс1ву

II y(t) - X (t) II < S, где S - произвольное положительное число. Эго означает, что решение уравнения (1.2) является непрерывной функцией начальных данных. Отмеченный сейчас факт можно трактовать как свойство устойчивости решений системы (1.2) на конечном интервале времени. Таким образом, свойство устойчивости решений на конечном интервале времени присуще любой системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если же 8= О, а т] О, то мы имеем случай постоянно действующих возмущений, и оценка (1.9) принимает вид

\\y(t)-xit) <А(/»-о. ,).

Очевидно, для заданного s можно подобрать такое значение -ц, что на отрезке fo + будем иметь

11>(0--(0<-

Этот последний факт есть выражение свойства непрерывности решения в некотором функциональном пространстве правых частей. В частности, если правые части системы (1.2) непре-

§ 2. Определение устойчивости. Вывод уравнений возмущенного движения

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

S=5(y. О- (2.1)

Выделим некоторое движение y=f(t) системы (2.1) и назовем его невозмущенным движением.

Движение y=f{t) назовем устойчивым в смысле Ляпунова, если для всякого еО можно указать 80 такое, что из неравенства 1>()-/(<о)[1<С следует неравенство

рывно зависят от некоторого параметра X, то из полученных оценок следует непрерывность решения системы по данному параметру.

Если правые части системы (1.1) не зависят от времени t, то мы назовем эту систему автономной. Пусть теперь система (1.1) автономна и предположим, кроме того, что все решения системы (1.!) продолжаемы, т. е. определены для любого момента времени t.

Рассмотрим в фазовом пространстве автономной системы точку р{х\.....xl) и обозначим точку

q{Xi(t, xl X»), x„it, xl xl))

через f(p, t). Таким образом, через f(p, t) обозначается положение точки р, которое она займет через промежуток времени t, двигаясь по траектории системы (1.1). Если t фиксировано, то функция f(p, t) осуществляет отображение фазового пространства на себя. Это отображение, как следует из теоремы существования и единственности решений и из полученных нами оценок отклонения решений,будет взаимно однозначным и взаимно непрерывным. Кроме того, легко видеть, что функция f(p, t) обладает свойством

П/(Р. h), к) = Пр, Ut,). (i.ll)

Из свойства (1.1!) (которое мы будем называть групповым свойство. динамической системы) следует, что совокупность отображений образует однопараметрическую группу отображений фазового пространства [3].

\\у (f)-/(0<С® "Ри Sio- Здесь через у (t) обозначено любое другое решение системы (2.1), определяемое начальными условиями у (to). Движение y=f(t) называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если существует такое положительное число h, что при IIJ/(У-f{iu)\\<Ch будем иметь

lim II у (О-/(О 11=0. (2.2)

/ оо

Если решение у (О стремится к f{t) при too равномерно по отношению к о> то асимптотическая устойчивость тзываетсяравномерной относительно t. Если равномерность стремления к пределу имеет место по отношению к начальным условиям j; (о)> то говорят, что решение y-f(t) равномерно асимптотически устойчиво по отношению к начальным условиям. Если система (2.1) автономна, т. е. правые части не зависят от t, то асимптотическая устойчивость будет всегда равномерной относительно начальных данных. Этот факт был установлен в работе Массера [4].

Если движение у = f{t) устойчиво по Ляпунову и соотношение (2.2) справедливо для решений у {t\ определяемых любыми начальными данными, то говорят, что движение y=f(t) асимптотически устойчиво при любых начальных данных (или асимптотически устойчиво в целом).

Проведем в системе (2.1) замену переменных х=у - f(t). Новая система будет иметь вид

2=Г(Х+/(0, t)-Y{f(t), t);

вподя обозначение

Х{х, t)=Y{x+f{t), 0-К(/(0, t), получим систему

g = (, t), (2.3)

где X(0, 0 = 0 при t„.

Система (2.3) определяет дифференциальные уравнения возмущенного движения. Движение y=f(t) перешло при рассматриваемой замене переменных в положение равновесия х = 0 новой системы. Задача устойчивости движения y-f{t)