r(ft„ ... , hj =

(h, hi) ... (h, ft J

называется определителем Гоама. Если элементы ft,,..., ft„j линейно независимы, то определитель Грама всегда положителен. С помощью определителя Грама можно найти ошибку приближения, т. е. величину

S = ll/-fto 11-

Справедлива формула

sa Г (hi, ... , h„, f)

Г (Aj.....Л J

(8.9)

Такая задача всегда имеет решение и оно единственно. Если

является наилучшим приближением в указанном выше смысле, то справедливо равенство

(f-K ft) = 0, (8.7)

где ft - любой элемент из

Равенство (8.7) означает, что элемент /-ftj, ортогонален к любому элементу ft из Н. Этот факт, очевидно, допускает простую наглядную интерпретацию, если Н - конечномерное векторное пространство, то ho в этом случае является проекцией вектора / на гиперплоскость Н.

Беря в качестве ft любой из порождающих элементов ft,-из (8.7), выводим

(/- 2 4hk, hi) = О,

откуда следует

2 Сь = (/ t=l, 2, ... , т. (8.8)

Система (8.8) дает возможность найти числа aj, ... , а„. Определитель этой системы

(fti, fti) ... (ft,, ftj

Если пространство Н сепарабельно и полно, то ряд Фурье любого элемента f по полной ортонормированной системе сходится к / и имеет место равенство Парсеваля

S*= 11/11-

ft=I

4. Вернемся теперь снова к нашей задаче, т. е. к задаче аппроксимации векторной функции r(t) линейным агрегатом

f,c,y,(t). ft-i

Задача А. Подобрать векторы Си таким образом, чтобы ошибка

стала наименьшей.

Если система {h,\ ортонормированная, то имеем

= (8.10)

Если система {ft,} ортонормированных векторов является бесконечной, то ряд

где а,- = (/, ft,), называется рядом Фурье. Бесконечная ортонормированная система называется полной, если не существует элемента, отличного от нуля, который был бы ортогонален к каждому элементу рассматриваемой системы.

Если пространство Н сепарабельно, т. е. в нем имеется счетное всюду плотное множество элементов, то в Я всегда существует счетная и полная ортонормированная система элементов Из (8.10) следует в этом случае неравенство Бесселя

208 устойчивость в банаховом пространстве [гл. га

Здесь

( = 1 ft=I

ift - проекции вектора с. Имеем

где г т

8 = К2 it)-riit)ydt

о fe=l

и задача сводится к минимизации каждой из частных ошибок 8j. Такое разделение можно сделать потому, что выбор величин при одном значении / не влияет на выбор этих величин при другом значении /.

Рассмотрим пространство Н, элементами которого являются функции f{t) с интегрируемым квадратом на отрезке [О, Г]. Скалярное произведение в Н введем по правилу

Подпространство теперь будет подпространством, порожденным функциями(t), ...,Ут(О- Тзким образом, ставится задача отыскания наилучшего среднеквадратического приближения функции г; (О линейным агрегатом

Согласно (8.8) для определения величин

Сщ при данном

значении / имеем систему

ЦЛУа. yj) ={ri,yi), i=\, 2, т. (8.11) ft = i

Для определения векторов согласно (8.11) можем получи 1ь систему

2 Ck{у, yj) = с. yjl }=\,% т. (8.12)