х(0 Be{\\x„\\-\-\eris)ds),

эквивалентную оценке (6.12).

Лемма 6.2. Имеют место при tQ следующие оценки:

Ф.(0, (6.15)

Ф,(o/..(l-.o(Г (6.17)

Лемма 6.1. Всякое решение уравнения (6.10) удовлетворяет оценке

\\x{t)\\B{Фl{t)-\-Фi{t)), (6.12)

Фl{t) = e\\x,\\, x, = x{Q), (6.13)

ФЦ) = е-"\ег{)й5, (6.14)

\ = !j. - BL.

В самом деле, используя формулу Коши, получим t

x{t)=W{t, Q)x,-\-\ W{t, s)iR{x, s)-\-u{x, s))ds,

откуда следует

il x{t) II Be II X, II +5 5 e-it-s,[i ц () ц , щ s.

Вводя обозначение f{t) = e"\\x(t)\\, получим

9 (О < в II 0 II + в S [Lf (s) + e«r (s)]

откуда согласно лемме 2.3 (неравенству (2.15)) следует неравенство

9 (О Ве {\\Xo\\-i-\e(-B-)r (s) (is) . о

Таким образом, получаем оценку

В самом деле, оценка (6.15) непосредственно следует из

неравенств Фi(t)sS. hoC- \ еЫз и \ e"c?ssS-.

Чтобы получить оценку (6.16), выделим из числа t целую часть k, т. е. представим t в виде = -}-о где OsgtQ<l. Тогда будет справедлива оценка

fc+I т

Фа (О 2 \ e"-ris)ds\, (6.18)

m=l т - 1

откуда следует

Ф2 (О <2 ""

Докажем теперь справедливость оценки (6.17). Очевидно, имеет место неравенство

hi ;-г

т= 1 m -- I

( 5 <?s)( I rs)ds)\

m= 1 m - 1 m - I

Таким образом, имеем

m = l

откуда следует

Фа (О Ла (2>-)-/г (е -у»,

что и доказывает оценку.

Теорема 6.2 (об устойчивости при постоянно дей-ствуюптих возмущениях). Пусть в г-окрестности точки х = 0 выполнены условия (6.2), (6.4), (6.5), (6.11) и одно из неравенств

A) ho<~l,

B) hi<:e-\l-e--\

Тогда всякое решение уравнения (6.10), определенное условием II II <е/2в, будет удовлетворять при tQ неравенству ] х (О Ц <С

Докажем теорему. Из леммы 6.1 следует, что решение x{t) удовлетворяет неравенству (6.12). Очевидно, что функция Ф, (О Хо удовлетворяет условию i{t)<:&l2B, а функция ФЩ, согласно лемме 6.2, связана при выполнении хотя бы одного из условий А), В), С) аналогичным неравенством Ф2(0<е/2в. Из (6.12) сразу следует, что \\x(i) <s.

3. Рассмотрим теперь еще одну теорему, которую можно бы было назвать теоремой о диссипативной устойчивости.

Теорема 6.3. Пусть в г-окрестности точки л; = 0 выполнены условия (6.2), (6.4), (6.5), (6.11) и одно из неравенств

a) fto < Р g .

b) hi<:p~e-\l-e-%

c) Н..<4{у\1-еЛ

где О < р < 1 и <С <С Существует положительное число Т такое, что при tT и л;о<8 решение x(t) уравнения (6.10) удовлетворяет неравенству \\ х(t) \\ <:Ь. Докажем георему. Пусть Т - целое положительное число 1 В

такое, что 7">у1п-у. При fT получим оценку

Ф(t)-e II jCq II <(1 -P)g- Если выполнено хотя бы одно

из условий а), Ь), с), то получим, согласно лемме 6.2, Фз(0<Ср8/в. Отсюда следует, что решение x(t) уравнения (6.10) будет удовлетворять при 7неравенству x(t) \\ <8.

4. Рассмотрим теперь уравнение

j<:=A(t)x-R(x, t) -!- и (О, (6.19)

где операторная функция A(t) и функция R(x, t) и u(t) являются непрерывными и периодическими по t. Если период этих функций один и тот же и равен ш, то, очевидно, замена f = Tu) приводит к случаю, когда период будет равен 1. Поэтому будем считать в дальнейшем, что u)=l. Пусть, как