4. В первой части доказательства теоремы нами доказано, что из любой точки фазового пространства изображающая точка системы (7.2) попадает с ростом времени на поверхность s=0. Дальнейшее поведение изображающей точки определяется ее движением на самой поверхности 5 и отклонением от этой поверхности, определяемым существованием областей прошиваемости системы.

Рассмотрим теперь на плоскости s=0 наряду с системой (7.10) систему

х=у, p = f(x,y) + s(t), (7.15)

образованную двумя первыми уравнениями системы (7.7). Здесь через s{t) обозначено значение величины s в процессе изучаемого нами выше движения точки M{t). Поэтому () = 0, если точка M{t) скользит по плоскости s=0, и s{t)0, если точка M{t) сходит с этой плоскости. Следовательно, система (7.15) описывает движение проекции точки M{t) на плоскости s = 0.

Выше показано, что при достаточно большом значении К функция s{t) может быть сделана как угодно малой по абсолютной величине. Кроме того, вследствие выполнения условий (Ь) нулевое положение равновесия является для системы (7.10) асимптотически устойчивым при любых начальных возмущениях. Рассмотрим теперь функцию v=y -

- 2 ср (jc, 0) dx. Производная этой функции, взятая в силу

системы (7.15), имеет вид

* = 2;; [ср (X, у) - ср (х, 0)] - 2s (О J =

= 2jcp (О, у) + 2у [ср(х, y)-f (О, у)] - 2у ср {X, 0) - 2ys {t).

Но из (7.14) легко следует, что \ys {t)\<, где от -положительная постоянная. С другой стороны, если у - произвольно малое положительное число, то, учитывая, что из условий (Ь) следует неравенство уср (О, у)<0, а также, что для лежащей в области D точки величина ее ординаты у является ограниченной, будем иметь при \у\У(, строгое неравенство уср (О, у)< - Го, где Гд - некоторая положительная постоянная.

§ 8. Нелинейные системы с переменной структурой. Регулирование по координате л; и ее производным

1.-Как и в предыдущем параграфе, здесь будут рассмотрены нелинейные системы третьего порядка. Так же как и ранее, точки фазового пространства переводятся сначала на некоторую поверхность, а затем в скользящем режиме совершают движение по этой поверхности к началу координат. Однако, в отличие от способа формирования управления, рассмотренного ранее, введение дополнительных изменяемых параметров управляющего устройства позволяет обеспечить для любого движения скользящий режим на всем протяжении времени, начиная с некоторого момента. Это последнее обстоятельство и позволяет получить свойство асимптотиче-:кой устойчивости нулевого решения системы.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

x + F{x, X, X, 0 +

-]-{K\x\-Ki\x\)sign(x~<f{x, ;&)) = 0. (8.1)

Далее, выбирая значение К достаточно большим, можем добиться в силу непрерывности функции <{х, у) для точек полосы 11 2Дх (в пределах области D) выполнения неравенств \у{<?{х, j;)-9(0, j;)]<5 и j9(x, 0)<!-.

Наконец, при - будем иметь также соотношение

\ys{t)\<. Таким образом, в полосе jc2Ajc при \У I будем иметь для производной v неравенство

*<-т-„<о.

Кроме ТОГО, г» О всюду в области D вне полосы х\ = 2Дд;. Отсюда следует, что, выбирая значение К достаточно большим, мы можем добиться того, что производная v станет отрицательной всюду в области D, за исключением как угодно малой окрестности начала координат и точек прямой у = 0. Так как на прямой у=гО нет целых траекторий системы (7.10), то приходим к выводу, что любая траектория системы (7.15) попадает в е-окрестность начала координат, если только величина К является достаточно большей.

I Si Нелинейные системы с Переменной структурой. 2 103

Здесь К, К\ - положительные параметры, F {х, х, х, t), <f{x, х) - непрерывные функции своих аргументов при всех значениях х, х, х и tO.

Уравнение (8.1) эквивалентно системе

P = z,

i = -Pix, у, Z, t)-[K\x\ + Ki\y\]sign{z-fix,y)).(8.2)

Предположим, что выполнены следующие условия:

a) \F(x, у, Z, t)\a\x\-{-b\y\-(-c\z\ для любых значений X, у, Z, tO. Здесь а, Ь, с - неотрицательные постоянные.

b) Функция ср(д;, у) всюду определена и непрерывно дифференцируема по д; и , причем существуют такие положительные числа Ж и Л/, что выполняются соотношения \fx\M, I ср I Л для всех X -л у.

c) хср(х, 0)<0 при ХфО, y[f(,x, y) - f{,x, 0)]<0

при у фО, \ fix, 0) dx = CO.

+ 00

Заметим, что условие а) обеспечивает продолжаемость движений системы (8.2), по крайней мере до того момента времени, пока точка не попадет на поверхность 5, заданную уравнением z = f(x, у). Если все точки некоторой области Q фазового пространства попадут при своем движении на поверхность 6", а потом с ростом t будут двигаться по 5 к началу координат в силу системы

х=у, P = f{.x,y), (8.3)

то мы и получим требуемое свойство асимптотической устойчивости нулевого решения.

Теорема 8.1. Пусть функции F{х, у, z, f) и f{x, у) удовлетворяют условиям а), Ь), с), а параметр К\ фиксирован и выбран согласно неравенству

Kxb-M + cN-N\ (8.4)

и пусть задана ограниченная область Q фазового пространства. Можно указать такое положительное число Кц, кто при ККй нулевое решение системы (8.2) будет асимптотически устойчивым, причем область О будет лежать в области притяжения начала координат.