нием реакции звена на импульсное воздействие. Таким образом, теоремы § 5 и 6 можно рассматривать как теоремы, описывающие поведение реакции системы на импульсный сигнал в зависимости от поведения системы при действии возмущений других типов. Поэтому больщое внимание уделено вопросам преобразования импульсных воздействий. Здесь на базе понятия функций ограниченной вариации и понятия интеграла Стилтьеса строится элементарная теория устойчивости по отнощению к импульсным воздействиям. Указанный подход позволяет рассматривать вопросы устойчивости в смысле Ляпунова (т. е. вопросы устойчивости по отнощению к начальным возмущениям) и вопросы устойчивости по отнощению к постоянно действующим возмущениям с единой точки зрения.

Последний параграф третьей главы посвящен вопросам программного регулирования. Материал § 6 и 7 изложен так, чтобы применение его для решения задачи осуществления движения по заданной траектории не представляло затруднений. Единственное, что здесь потребовалось для развития теории,- это привлечение методов и результатов теории среднеквад-ратических приближений.

Следует отметить, что третья глава требует от читателя несколько большей математической подготовки. В этой главе мы используем основные понятия функционального анализа, с которыми можно познакомиться, например, по книге [71]. Однако для удобства читателя все основные определения и положения функционального анализа, которыми мы пользуемся в третьей главе, приведены в § 1 этой главы.

В конце книги приведена подробная библиография работ, и.меющих отношение к вопросам, рассматриваемым в книге.

Автор благодарен Н. Н. Красовскому за ценные замечания и советы.

В. А. Табуева, Е. И. Геращенко, В. Л. Гасилов, С. Т. Зава-лищин, А. Ф. Клейменов, Л. В. Киселев указали мне ряд недочетов, допущенных при оформлении работы. Ю. К. Сергеев провел моделирование некоторых результатов второй главы. Всем указанным товарищам автор приносит свою глубокую благодарность.

ГЛАВА I МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

А. М. Ляпунов установил ряд общих достаточных условий устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости положения равновесия, А. М. Ляпунов связывал факт устойчивости или неустойчивости с наличием функции v(xi, х„), производная которой по времени, взятая согласно системе дифференциальных уравнений, обладает определенными свойствами.

Однако значение функций Ляпунова далеко не исчерпывается проблемой установления факта устойчивости, как и неустойчивости. Знание функции Ляпунова для конкретной системы автоматического регулирования позволяет дать оценку изменения регулируемой величины, оценку времени протекания переходного процесса (времени регулирования), оценку качества регулирования.

С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т. е. многообразие всех начальных возмущений, исчезающих во времени, можно оценить влияние постоянно действующих возмущений. Знание функции Ляпунова позволяет решить вопрос о наличии или отсутствии перерегулирования, с помощью этих функций можно решать задачи устойчивости «в большом», т. е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной заранее области. В некоторых случаях знание функции Ляпунова позволяет также решить вопрос о наличии периодического решения.

Одним из наиболее трудных и интересных вопросов теории устойчивости был вопрос об обращении теорем Ляпунова. Необходимо было выяснить, являются ли достаточные

условия устойчивости и неустойчивости, указанные А. М. Ляпуновым, необходимыми условиями. Этот вопрос оказался важным не только в силу стремления к логической завершенности теории. Обращение теорем Ляпунова, осуществленное в работах К. П. Персидского [141], Л. Массера [4], Е. А. Бар-башина [25], И. Г. Малкина [142], Н. Н. Красовского [7], обеспечило уверенность в силе метода функций Ляпунова, как универсального метода для решения задач устойчивости.

Однако методы построения функций Ляпунова, хорошо разработанные указанными авторами, хотя и позволили установить факт существования этих функций, но не были настолько эффективными, чтобы ими можно было пользоваться при исследовании конкретных систем.

Следует заметить, что для автономной линейной системы способ построения функций Ляпунова был указан еще самим А. М. Ляпуновым. Этот способ дает возможность получить также функцию Ляпунова в достаточно малой окрестности положения равновесия нелинейной системы. Значительно более трудной является проблема построения функции в заданной области фазового пространства нелинейной системы. В направлении решения этой проблемы работали многие математики и механики; ими создан достаточно богатый запас конкретных функций Ляпунова для нелинейных систем специального вида, но до настоящего времени не существует надежного, простого и хорошо разработанного алгоритма, позволяющего построить функцию Ляпунова для любой нелинейной системы.

В этой главе, наряду с изложением теорем об устойчивости и неустойчивости, мы даем примеры использования функций Ляпунова для решения задач оценки времени регулирования, оценки области допустимых возмущений, оценки области притяжения и т. д.

Кроме того, нами указаны наиболее распространенные приемы построения функций Ляпунова для нелинейных систем и приведены соответствующие примеры применения этих приемов.

§ 1. Оценка изменения решений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

-1 = Х,{х„ х, t), 1\,2,...,п. (1.1)