§ 41 Стабилизация системы третьего порядка, ч 77

Лемма 4.2. Если точка Л1(т) движется из положения Жо(Ао, Уо, Ro) "о траектории системы (4.4), ото она не может находиться в области А 8, R > О более Rf,/b единиц времени.

В самом деле, из последнего уравнения системы (4.4) имеем R<Rd - 8t, где т отсчитывается от того момента времени, начиная с которого выполняется неравенство Л" 8. Если т, > Rjb, то R (т,) уже будет отрицательной величиной и точка М (т,) окажется вне рассматриваемой области. Таким образом, за промежуток времени Отт, точка Ж(т) попадет либо в область А <8, либо на плоскость R = 0.

Заметим, что если начальная точка Md{Xd, Уф Rq) удовлетворяет условиям Ао8, УоО, то точка Ж(т) может попасть только на плоскость R - 0.

Отсюда следует, что любая точка фазового пространства может заходить в область А < 8 не более двух раз.

Лемма 4.3. Если выполнены условия Ао 8, Ко! < > 0<IRQ<lb, то решение системы (4.4), определяемое начальной точкой Жо(Ао, У R,), удовлетворяет в области R>0 неравенствам -28<А(т)<58, -8<K(t)<48, 0<R(t)<8.

Очевидно, последнее из доказываемых неравенств непосредственно вытекает из третьего уравнения системы (4.4). Покажем теперь, что имеет место неравенство

-8<К(х)<48. (4.6)

Предположим, что Уо>0- Так как Х(т) и К(т) могут только расти, то обозначим через тд момент времени, когда А(тд) = 8, и через тд - момент времени, когда К(тд)=:8. Через обозначим момент встречи точки Ж(т) с плоскостью R = Q.

В силу леммы 4.2, если т, = оо, то (т)<С8 для всех положительных значений т; если при этом т = оо, то неравенство (4.6) будет иметь место. Возможны два случая. В первом случае предположим, что тот. Из второго уравнения системы (4.4) следует при тт К(т)- Y (то) Ro( - о)- Но так как в силу леммы 4.2 т - to<Ci - - tq<;1, to получим К(т)<]28 при всех т из промежутка

Во втором случае предположим, что го<]то, и оценим разность to - xj. Снова принимая во внимание второе

уравнение системы (4.4), получим

8 < У{-) < /?о ( - О + 8 при х> х; (4.7)

Левая часть этого неравенства дает оценку

8(о-о) + (;)<(а

откуда следует, что х,, - <С 2- Правая часть того же неравенства (4.7) дает оценку К(х)<8(х - Хо--Хо - о) + -f-8<48, так как х - Xd< 1 согласно лемме 4.2.

Теперь рассмотрим случай, когда Ко<0. Если К(х) не меняет знак, то неравенство (4.6) выполнено. Если К(х) меняет знак в момент времени хз, то возможны снова два случая. В случае (хз)<8, при xxg точка М(х) попадает в условия, которые рассмотрены выше. Если же А(хз)<-8, то точка уИ(х) не может, согласно лемме 4.2, находиться вне полосы \Х\<Ь более одной единицы времени, но за это время К(х) может вырасти не более чем на 8, поэтому точка уИ(х) снова попадает в область Х<8, К<8, причем величина К(х) будет при этом уже положительной и, следовательно, будет удовлетворять оценке (4.6).

Покажем теперь, что до тех пор, пока точка М (х) не попадет на плоскость R = 0, имеет место неравенство

-28<Х(х)<58. (4.8)

В самом деле, если точка уИ(х) выйдет в область ХЬ, то она не вернется в полосу А<8 и должна попасть на плоскость R = 0. Но в этом случае из первого уравнения системы (4.4) следует

А()-(о)<К(х)(х-х„)

при хохх,. Из леммы 4.2 следует, что х -Хо<1, а из неравенства (4.6) имеем 0< К(х)<48. Таким образом, - 8<Х(х)<58 при х>хо.

Если же точка уИ(х) выйдет в область Л< - 8 в момент времени Х4, то либо она попадем на плоскость R = 0, не возвращаясь в полосу А 1< 8, либо вернется в эту полосу. В первом случае получим - 8 (х - ч)<С () - -(i). откуда следует .Y(x)-28. Во втором случае точка уИ(х) возвратится в область I X8, I К8, и будет иметь место уже рассмотренная ситуация. Заметим, что минимальное значение

А(тз) во втором случае удовлетворяет неравенству Х(тз)> - 28. Лемма доказана.

В дальнейшем нам понадобится следующий общий результат. Наряду с уравнением

х = Х(х, t) (4.9)

рассмотрим уравнение

Si = X{y,t).\.R{y, t), (410)

где X, у л-мерные векторы Х{х, t) и R{y, t) - векторные функции. Предположим, что в некоторой области D фазового пространства на интервале tit it--T выполнены условия

\\Х{у, t)X{x, t)\\L\\y-x\\ (4.11)

\\R{y, t)\\M\\y\\. (4.12)

Предположим, далее, что на рассматриваемом промежутке времени решение x{t) системы (4.9) удовлетворяет неравенству

II x{t) II =sSe.

Лемма 4.4. Пусть выполнены условия (4.11), (4.12); тогда на интервале времени tt it-\-T имеет место оценка

з;(0-х()-(е + и-Ф 1), (4.13)

где x(t) и y{t)-соответственно решения уравнений (4.9) и (4.10), определяемые одинаковыми начальными условиями.

В самом деле, исходя из неравенства

\\y{t)-x{t)\\\[\\X{y, t)-X{x, t)\\-\-\\R{y, t)\\]dU к

получим

\\y(t)-x{t)l\\ [L \]yit)-xit) +IJ(0]*-to

Так как Ц3(0 < 1Ь(0 - (0 + (0 II и lx(0e.