x{T)=W{T, 0)xo-\-\w{T, s)[R{x, 5)-]-H(s)]c?s, о

у{Т)= W{T, 0)j„+ 5 W{T, s)[R(y, s) + uis)]ds,

и ранее, операюр Коши W{t, т) уравнения (6.3) удовлетворяет условию (6.4). Пусть, далее, функция R{x, t) удовле!-воряет в области D условию Липшица

\\R(x. t)~R{y, 01=-1х-з;!. (6.20)

Предполагая выполненным условие R{0, t) = 0 при tO, можем считать, чго условие (6.2) также удовлетворено. Пусть, далее, числа а. В, L удовлетворяют условию (6.5), а функция ii{t) условию (6.11). Очевидно, что в условии (6.11) можно положить г {t) = \\ii{t)\\; отсюда следуег, что функцию г {t) можно считать периодической функцией t.

Теорема 6.4. Пусть для уравнения (6.19) выполнены перечисленные выше условия п хотя бы одно из условий а), Ь), с) теоремы 6.3. Существует в области х \\ sHj2B единственное периодическое решение 2{t) уравнения (6.19). Если X (t) - любое другое решение этого уравнения, такое, что II X (0) II HftB, то \\ x{t) - z (О О при i->-оо; это значит, что периодическое решение z(t) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова.

Докажем теорему. Из теоремы 6.3 следует, что если х(0) II =sb=Hi2B, то можно указать такое положительное число Т, что будем иметь х{Т) \\ S:C8. Это значит, что шар Цх II за промежуток времени Т перейдет но траекториям уравнения в свою часть. Покажем, что отображение x(0)->-->-x(7) удовлешоряет условиям принципа сжатых отображений, 1. е. условиям 1еоремы 1.2. Заме1им сначала, чю число Т было выбрано так, чюбы выполнялось неравенс1во

>iin>ina (6.21)

Если Хо чуо - два каких-то элемента из Й-окресшости нулевой точки, то по формуле Коши получим

01куда сразу следует оценка

\\у{Т)-х{Т)\\\\ w{T, 0) II ;ij;„ x„l +

+ \ II W{T, S) II R{y, s)~R(x, s) II ds.

Принимая во внимание условия (6.4) и (6.20), получим

II j; (7) - X(Т) II < Ве-г +

+ \ BLe-T-s) II (5) II ds.

Вводя обозначение 9(0 = е" j;(0 - x{t)\\, получим

f(t)B\\y,-x,\\-\-BL\f{s)ds,

откуда согласно лемме 1.1 первой главы, получим {Т)Ве-Ц\у,-х,\\,

т. е.

\\у{Т)-х{Т)\\Ве IIjo-oII- (6.21)

В силу условия (6.21) имеем Ве-< 1, что и доказывает возможность применения принципа сжашх отображений.

Таким образом, в шаре х 8 существует единсшен-ная точка (0) такая, что z{T) = z{0). Этой точке соответсшует периодическое движение; покажем, что период этого движения в точности равен 1. В самом деле, рассмотрим точку z{\)\ очевидно, в силу периодичности правой части (6.19) имеем z{\) = z{Т-\-\), следовательно, z{\) также является неподвижной точкой рассмотренного выше отображения. Но так как неподвижная точка должна быть единственной, то должно выполняться равенство z{0)=:z{\).

Из неравенства (6.2Г) следует теперь справедливость заключительной части доказываемой теоремы.

5. Перейдем теперь к рассмотрению теорем об устойчивости при постоянно действутотттих возмунгениях и об устойчивости по первому приближению, доказательства которых не укладываются в схему, приведенную ранее.

Наряду с уравнением

х = Х(х, t), где Х{0, 0 = 0, (6.22)

рассмотрим уравнение

Р = Х{у, t)+R(y, t). (6.23)

Предположим, что выполнены условия, обеспечивающие существование и продолжаемость решений обоих уравнений в области D: \\ х\\ М, О<со.

Приведем определения, необходимые для формулировки дальнейших результатов:

a) Положение равновесия х=0 уравнения (6.22) назовем равномерно устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого еО и оЭО можно указать такое положительное число 8, зависящее только от е, что из x(to) <8 следует х(01<е при tU

b) Положение равновесия х=0 уравнения (6.22) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво в смысле Ляпунова и, кроме того, cyuieciByer еО такое, что для любых 80, i„5;0 можно указать число 70, зависяптее только от е и 8, и такое, что из II x(tf,) II <£ следует x(t(,-[- Т) <8. В следующем определении не предполагается, что точка л; = 0 является положением равновесия.

c) Точка х = 0 называется г-устойчивой, если можно указать 80 такое, что из л;(() <8 следует x(t) <е при Повсюду в дальнейшем через x(t) будем обозначать решение уравнения (6.22), а через y(t) решение уравнения (6.23).

Лемма 6.3. Пусть решение х = 0 уравнения (6.22) равномерно асимптотически устойчиво. Определим согласно а) и Ь) числа 8<е и 70 такие, что из \\x(to) II <8 следует

х(01<£/2 при tU, (6.24)

\\iU + T)\\<i~. (6.25) Пусть X (ij) = у (о). Если справедливо неравенство

II у (0-х (О II < 8/2 при ttU + T, (6.26)

где - любое положительное число, то точка х = 0 будет г-устойчивой по отношению к системе (6.23).