dt ~

является, очевидно, достаточным условием отсутствия целых траекторий на множестве М, так как при выполнении этого условия интегральные кривые «прошивают» поверхность М.

§ 6. Теоремы о неустойчивости

Рассмотрим теперь теоремы о неустойчивости.

Теоремы 6.1 и 6.2 принадлежат А. М. Ляпунову, теорема 6.3 доказана Н. Н. Красовским [7].

Теорема 6.1. Еслп существует функция v, имеющая знакоопределенную производную по времени, и такая, ято в любой окрестное ти точки О функция v не является знакопостоянной, знака противоположного с v, то нулевое решение системы (4.1) неустойчиво

Пусть в шаре выполнены условия георемы. Полагая для определенности функцию ii определенно положительной, рассмотрим квк угодно малую окрестность Jg точки О. Покажем, что существует точка р, траектория которой при tO выйдет за пределы J. По условию теоремы в Jj имеется точка р, в которой v (p) = vO. В силу непрерывности функции V существует такое число т), что в будем иметь lz;<z>o. Так как функция ii определенно положительна, то v(f{p,t)) растет с ростом t, и поэтому точка /{р, t) не сможет попасть в J. Допустим, что точка f(p, t) не выйдет за

пределы J. Так как в имеет в области J,\J положительный минимум т, то будет справедливым неравенство

vif(p, t)) = vip) + \vdtvip)mt. (6.1)

Отсюда видим, что с ростом t функция v{f{p,t)) растет неограниченно, но, с другой стороны, функция V как непрерывная

нелинейных систем. Следует заметить, чю требование теоремы об отсутствии на множестве М целых траекторий легко проверяется. В самом деле, если, например, уравнение f (JCi, ..., JCn) = О является уравнением поверхности М, то условие

функция должна быть ограниченной в шаровом слое J,\Jr-Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 6.2. Если существует функция v такая, что ее производная по времени имеет вид

§=lv-\-w, (6.2)

где X - положительная постоянная, а w или тождественно обращается в нуль или является знакопостоянной, и если в последнем случае функция v не является в любой окрестности точки О знакопостоянной, знака противоположного с W, то нулевое решение системы (4.1) неустойчиво.

Полагая для определенности w, ъ произвольно малой окрестности выберем точку р, в которой г; (/?) = z>„ О, и покажем, что точка /(/?, t) с ростом t выйдет за пределы любой окрестности J, в которой выполнены условия теоремы. Рассматривая функции v (f (р, t)) и w(/(р, t)) как функции времени, из дифференциального уравнения (6.2) можем определить v(f(p, t)) по известной формуле Коши;

(/(Л t)) = e\\e-wdt-Vo . о

Из условия wO имеем

v(f{p, t))v/.

Так как Х>0, то с ростом t функция v(f(p, t)) растет неограниченно, а это значит, что точка f{p, t) выйдет за пределы области

Теорема 6.3. Если существует функция v, не являющаяся знакоотрицательной в произвольной окрестности точки О, и такая, что

>0 вне М, -J ч My

где М - множество, не содержащее целых траекторий (кроме точки О), то положение равновесия неустойчиво.

Так же как и в доказательстве теоремы 6.1, в произвольно малой окрестности 7g выберем точку р, в которой v{p)~ = 1>оО, и выберем затем шар 7, во всех точках которого имеет месте неравенство i<xo- Допустим хеперь, что точка

/(/?, t) не выйдет за пределы некоторого шара 7. Так как f{p, t) не может попасть и в 7, то точка f(p, t) будет при всех tQ лежать в шаровом слое J\J., следовательно, непустое множество Q ш-предельных точек точки р также будет лежать в этом шаровом слое. Но по лемме 5.1 множество 2 лежит на поверхности v = c, а по теореме 5.1 множество Q является замкнуты.м и состоит из целых траекторий. Таким образом, на Q имеем v - Q, откуда следует, что QCZM, а это противоречит предположению теоремы, так как множество М не содержит целых траекторий.

В заключение отметим, что возможны различные обобщения рассмотренных теорем. Так, например, можно отказаться от требования выполнения условий Липшица для правых частей системы (4.1) или даже от требования непрерывности правых частей. Все теоремы § 4-6, безусловно, будут справедливы, если правые части системы (4.1) кусочно-непрерывны. Можно также снять требования непрерывности и диф-ференцируемости функции Ляпунова, заменив их другими требованиями, очевидным образом вытекающими из доказательств приведенных теорем. Более подробно эти вопросы разобраны в монографии Н. Н. Красовского [7]. В этой же монографии проведено фундаментальное исследование условий обратимости теорем Ляпунова, теорем 5.2 и 6.3, а также многих других теорем рассматриваемого метода.

§ 7. Примеры

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений

х = ах-{-Ьу, у= -cx-f-u?y (7.1)

и попытаемся найти для нее функцию Ляпунова в виде v = Fiix)-\-F-i{). Будем иметь в этом случае в =г(jc) X X {ах* + by) - F (у) {сх - dy). Потребуем снова, чтобы функция в имела такую же функциональную структуру, что и функция V, т. е. потребуем, чтобы тождественно выполнялось bF[{x)y-cFiy)x = Q. Деля переменные, получим

сх by

и, следовательно, каждая из этих дробей должна быть постоянной величиной, например, равной 1/2.