(14.1)

рассмотрим систему

х=fix)-Л-by р = сх-\- dy.

by, 1 • J

(14.2)

Используя результаты § 9, построим для системы (14.1) функцию Ляпунова в виде квадратичной формы, исходя из условия

v = ~2ia-\-d)ibc ~ad)x\

Полагая v =ах-}-2ху-\--у, легко найдем неопределенные коэффициенты а, , f. В результате выкладок получим функцию

v = idx~ byf 4- adx - bcx\ (14.3)

Условия Рауза-Гурвица для системы (14.1) имеют вид a-\-d<0, ad - bcO, очевидно, что эти условия обеспечивают знакоопределенность функции v и знакоотрицатель-ность V.

Беря за основу функцию (14.3), построим теперь функцию Ляпунова для системы (14.2). Система (14.2) отличается от системы (14.1) тем, что вместо функции ах стоит нелинейная функция fix). В выражении (14.3) коэффициент а комбинируется с х. Если рассматривать выражение ах как удвоен-

ный интеграл ах dx, то естественной кажется мысль принять о

по аналогии в качестве функции Ляпунова для системы (14.2)

Ниже мы приводим примеры на исследование устойчивости в целом нелинейных систем. Эти примеры так или иначе связаны с проблемой Айзермана. Однако отметим, что наиболее интересным моментом при изложении примеров является демонстрация функций Ляпунова для нелинейных систем.

§ 14. Примеры

Пример 1 (И. Г. Малкин [15], Н. П. Еругин [16]). Наряду с системой

x=zax-]- by, p = cx-\-dy,

I 14! Примеры 51

функцию

n = {dx - byf -f 2d \ f{x) dx - bcx\ (14.4)

Беря производную функции и, в силу системы (14.2) получим •u=.~2(m.jd][bc~ld]x

Так как u = {dx - byf -\-2\(df{x) - bcx)dx, то условие

знакоопределенности функции и имеет вид

a) d - 6с > О при хфО. Условие (а) вместе с условием

b) £SJd<CO при хфО

обеспечивает знакоотрицательность н. Очевидно, множество х = 0, где н = 0, не содержит целых траекторий. Чтобы функция и была бесконечно большой, достаточно потребовать выполнения условия

c) [( (х) - bcx]dx ОО при \х\оо. о

Условия а), Ь), с) обеспечивают на основании теоремы 12.2 устойчивость в целом нулевого решения системы (14.2).

Красовский Н. Н. [13J показал, что невыполнение условия (с) может повести к потере свойства устойчивости при любых начальных возмущениях.

Наряду с системой (14.1) рассмотрим далее систему (Н. Н. Красовский [17])

x=fix) + by, I

p = <f(x)dy. I

Беря функцию Ляпунова в виде

v = {dx - byf 4- 2 \ [df(x)-b<f (х)] dx о

и учитывая, что в силу системы (14.5) будем иметь г- = - 2 + (йср (х) - d/ (х)) X,

F(x)=\f(,x)dx, Ф(,у)=\

т. е.

получим достаточные условия устойчивости в целом в виде

a) {b<?(x) - df{x))xyO при х О,

b) = + (/<0 при хтО,

c) \[df{x) - b(f(x)]dxcx) при \х\сю. о

Пример 2 (Е. А. Барбашин [6]). Рассмотрим уравнение х + <р(х) + (х)/(х)=0, (14.6)

эквивалентное системе

х=у, I

Используем для построения функции Ляпунова метод деления переменных [18]. Будем искать функцию v в виде v=:F(x)-{-Ф{y). Имеем в силу системы (14.7)

х, = Р(х)у- Ф (у) [g (у) /(X) + <р (;;)].

Потребуем теперь, чтобы v имела такую же структуру, что и функция V, т. е. потребуем тождественного выполнения условия

Fix)y-Фiy)giy)fix) = 0.

Деля переменные, получим

Fjx) (y)g(y) fix) у

что может иметь место, если каждое из выражений в обоих сторонах равенства является постоянным, например, равным 1. Отсюда сразу следует, что