Так как W{t, z) - U{t) U\х), где f/(О - Фундаментальный оператор, то

По определению фундаментального оператора имеем -~- = = A(z) и (z), отсюда следует

J = -W(t, z)Aiz).

Интегрируя по х последнее соотношение в пределах от до t, получим

W{t, z) - l=-] W{t, z)A{z)dz. to

Следовательно,

11 «7 (t, X) - / jj = Ij 5 r (t, X) A (X) dz Jl Л„Ф„. о

Отсюда следует, что \\W(t, х) Л„Ф„-j-1 и, следовательно, можно положить UJo = Л„Фо--1.

Лемма 5.4. (Л. Массера, Д. Шеффер [94). Пусть ф (t) - положительная функция, р (t) - непрерывная положительная функция при tO. Если inf р(0<С " ля

/5:0

всех ttO имеет место неравенство

<l(t)p(t-t,)C,(t,), (5.3)

то существуют положительные числа а, В, не зависящие от такие, что при tt:0 справедливо неравенство

ф (t) Be- «- о) ф (г?д). (5.4)

В самом деле, существует положительное число х такое, что Р ("с) = Y <С 1- Положим а= - z \п ~[ н В = max ep(t).

Очевидно, что число В с указанным свойством существует в силу непрерывности p{t). При я = О, 1, ... имеем в силу (5.3)

ф(о + «)ТНМ- (5-5)

Для любого ttO имеет место при некотором целом и положительном п неравенство nz (л-j- 1)x.

Таким образом, получим согласно (5.3) и (5.5)

ф (т) =sS р ( - 0 - nz) ф it„ nz)p(t~t„- nz) ft (о)-

Справедливо также неравенство

ф (О < e- о - р ( - 0 - nz) f е""" e-- О ф (t).

Так как е" = 7-\ то согласно выбору числа В получаем требуемое неравенство (5.4).

Лемма 5.5. Если существуют положительные постоянные Фо и такие, что

\ II W{t, т)</т<Ф„, II W(t, U)\\W,

при любых о ! < оо, то можно указать положительные постоянные а и В такие, что

II W{t, t„) 11 =s;Se-=(-o» (5.6)

при любых Ogfst<ca.

Действительно, так как W(t, tQ)=W(t, z)W(z, to), то имеем

( W (i, z) W (z, t,) dz 11 = 11 W (f, t,) Ut- io) Ф„ W„.

Используя дополнительно неравенство W(t, t) -W, получим

II ( u) IK "[°,t.y =P(-M-

в общем случае имеем, очевидно, II W{t, t,) II II W(t, t,) 11 11 W{t„ t,)\\p{t- t,) 11 W(t„ t,) 11

и мы можем применить лемму 5.4.

Определение. Нулевое решение уравнения

9 = A{t)y (5.7)

назовем экспоненциально устойчивым, если существуют положительные постоянные а. и В, не зависящие от 1» и такие, что любое решение уравнения (5.7) удовлетворяет неравенству

II У (О 11 Ве -0 II У (МП- (5.8)

Очевидно, что экспоненциально устойчивое нулевое решение будет равномерно асимптотически устойчивым решением при любых начальных возмущениях, Эго значит, что нулевое решение будет устойчивым, и что для любых положительных чисел S и 8 можно указать такое число О,

что из II (о) II следует у(0<С "Р" 5=о+-

Если операторная функция A{t) не зависит от t, то экспоненциальная устойчивость имеет место тогда и только тогда, когда спектр оператора А лежит внутри левой полуплоскости ([75]).

Теорема 5.1. Пусть Е-векторное конечномерное пространство и пусть \\ A{t) \\ ограничена на J. Для того чтобы всякой ограниченной на J функции u{t) соответствовало ограниченное (равномерно по t) решение задачи (4.1), необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение уравнения (5.7) было экспоненциально устойчивым.

Необходимость условий теоремы вытекает из лемм 5.1 - 5.3 и 5.5.

Достаточность условий следует из формулы (4.2). Так как из неравенства (5.8) и формулы (4.2) следует неравенство W{t,t)\\Be--t«\ то имеем прин()г с < оо

II X (О II ( II W(t, х) „(х)х5£, о

что и дает требуемый результат.

Необходимость условий теоремы 5.1 была установлена И. Г. Малкиным ([8], стр. 367) с помощью применения функций Ляпунова. Критерий (5.8) был впервые введен К. П. Персидским. В дальнейшем изложении этот критерий будет играть существенную роль.

Наряду с задачей (4.1) рассмотрим теперь более общую задачу

X = Л (О X + и (О, X (о) = 0- (5.9)

Теорема 5.2 (Т. Ф. Бриджлэнд [97]). Пусть Е - векторное конечномерное пространство и Л() интег-рируе.ча на любо.м конечном интервале полуоси J. Если всякой ограниченной на J функции и (t) соответствует при любом Х( ограниченное (равномерно по t()) решение x{t)