работах Н. Н. Красовского [ 111 ] и А. Антосевича [112] на основе метода функций Ляпунова.

Исследование влияния возмущений, ограниченных в среднеквадратичном, исследование периодических движений при возмущениях, ограниченных в среднем и среднеквадратичном, проведено в работе [113]. Идеи этой работы послужили основой для исследования действия случайных возмущений [114] и для исследования вопросов устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений [85, 91].

Леммы 6.3 и 6.4 даны в работе [115], где рассматривался более общий случай, а именно, не требовалось свойство единственности решений и исследовалась устойчивость множества. Теорема 6.6 опубликована в статье [116].

Идеи лемм 6.3 и 6.4 послужили основой целого ряда работ по теории разностных уравнений [117, 118], уравнений с запаздываниями [77], интегро-дифференциальных уравнений [84] и уравнений в банаховом пространстве [119].

§ 7. Устойчивость по отношению к импульсным воздействиям

1. Большой интерес представляет исследование случая, когда возмущения, действующие на систему, имеют импульсный характер. Примером импульсного возмущения может служить, в частности, функция и (t) = XqS (t - о), где Xq - некоторый фиксированный элемент пространства Е, tO, а 8 - to) - известная функция Дирака.

Если выполнено условие x(t) = 0 при t<tQ, то после действия указанного возмущения, как нетрудно видеть, решение задачи

Jt=A(i)x-\-u(t), х(0) = 0 (7.1)

будет при itQ иметь вид

xit)=Wit,t,)x,. (7.2)

Это значит, что возмущение u(t) вызывает мгновенный переход в момент времени t=tQ нулевой точки в точку х.

Рассмотрим функцию e{t) (функцию единичного скачка), определенную следующим образом:

e{t) = 0 при t<to,

e(t)=l при t to.

Легко видеть, что решение (7.2) может быть представлено формулой

xit):=\Wit, s)Xode{s), (7.3)

где интеграл следует рассматривать как обобщенный интеграл Стилтьеса.

Если рассматривать функцию e{t) как некоторое входное распределение, то соотношение (7.3) показывает, как преобразуется это распределение в новое распределение х(О при прохождении через некоторое звено автоматической системы, описываемое уравнением (7.1). Таким образом, если встать на ту точку зрения, что уравнение (7.1) описывает закон преобразования входного распределения в выходное, то мы получим новую интересную задачу, относящуюся к теории обобщенных функций. Однако рамки настоящей книги не позволяют провести полное описание перехода входных обобщенных сигналов в выходные. Пользуясь несложным аппаратом интеграла Стилтьеса, который мы коротко рассмотрели в § 1, нетрудно изучить важный класс импульсных воздействий вида

H(0=«o(0 + i; а,-8(-,-), (7.4)

где функция Но (О интегрируема на любом конечном интервале, а,- - элементы пространства Е. 2. Рассмотрим сначала уравнение

xit) = lWit,s)dgis), (7.5)

соответствующее задаче (7.1).

Теорема 7.1. Для того чтобы всякой функции g{t) ограниченной вариации на множестве 0«<оо соответствовала в силу (7.5) ограниченная (по норме £ooj функция x(t), необходимо и достаточно выполнения неравенства

II "X/it, „)U7„<oo

при любых 0tijt<OO.

в самом деле, чтобы показать необходимость условия, достаточно взять функцию g{t) в следующем виде:

git) = \uit)dt,

где u{t) принадлежит пространству L. Таким образом, величина

f II «(О II dt о

конечна и функция g(t) будет функцией ограниченной вариации на множестве fO. По условию теоремы функция х (t) должна быть ограниченной; используя теорему 5.7, получим нужное нам неравенство W(t, о) о <С ° при 0

tot.

Достаточность условия теоремы вытекает из неравенства (1.9). Из этого неравенства следует, что

\\xit)[\Wo\fgit),

откуда и получаем ограниченность х (t).

Рассмотрим теперь пространство U, элементами которого являются функции g(t), такие, что

\\git)\\a = sup\/ git)oo. (>о

Теорема 7.2. Пусть выполнено условие

sup \ М(0а!<оо. t>o t

Для того чтобы всякой функции g{t) U соответствовала в силу (7.5) ограниченная функция x{t), необходимо и достаточно выполнения неравенства

II Wit, t,) II Be-(-h\ (IS)

где aO, Bl не зависят от t.

В самом деле, чтобы доказать необходимость условия, рассмотрим подпространство пространства I/, состоящее из