г=1.....л-1.

Приравнивая нулю коэффициенты при у, получаем для определения d систему

п- 1

Е («ift-"/A)cfft+ai« = 0, / = 1, ... , п, (6.14)

которая имеет решение, так как ее определитель отличен от нуля. В самом деле, переход от координат х, ... ,

к координатам у\.....Уп-1> У меняет ранга матрицы,

составленной из коэффициентов системы. Ранг матрицы, составленной из коэффициентов уравнения р = 0 и системы (6.13) равен п-1, причем det(a,- - aJfO, так как в противном случае характеристическое уравнение этой системы имело бы по крайней мере еще один нулевой корень. Таким образом, искомое преобразование имеет вид

y = hXi-\-...-\-b„x„,

У г ==Xi-di (biXi 4-... 4- ft„xj,

где di и b определяются из систем (6.13) и (6.14).

§ 7. Нелинейные системы с переменной структурой. Регулирование по координате х

1. Здесь и в следующем параграфе мы рассмотрим вопросы устойчивости нелинейных систем третьего порядка. Теорема 7.1, приведенная ниже, обобщает в некотором смысле результаты работы [34], в. которой рассмотрен линейный случай. Основные результаты по нелинейным системам опубликованы в работах [35, 36]. Характерным моментом исследований, проведенных в этих работах, является отказ от требования выполнения условий скольжения. На поверх-

которая, очевидно, обладает требуемым решением, так как ранг матрицы А равен п-1. Далее полагаем у; -й,-у, /=1, ... , п-1, и находим коэффициенты di из условия независимости pi от переменной у. Несложные выкладки приводят нас к системе

ности переключения в этом случае получается некоторая полоса прошиваемости, однако эту полосу можно сделать как угодно узкой за счет увеличения коэффициента усиления К.

Рассмотрим дифференциальное уравнение x-\-F{x, X, Д t)-\-Кх sign [х{х -fix, х))] = 0, (7.1)

где К-положительная постоянная величина, функция Fix, X, X, t) непрерывна по всем своим аргументам в области д;<с», jc:<oo, J?<oo, Osg<oo, ограничена по t при фиксированных значениях х, х, х я имеет непрерывные частные производные первого порядка по аргументам X, X, X, t; функция (p(jc, х) непрерывна и имеет кусочно-непрерывные частные производные первого и второго порядков по X, А ъ области [дг<оо, jc:<oo.

Уравнение (7.1) эквивалентно системе дифференциальных уравнений

i = -Fix,y,z,t)-Kxsign\xiz~fix,y))]. J -

Наложим следующие ограничения на функции fix, у) и F ix, у, Z, t):

a) IpFix, р-у, p-z, pt\<:Aix, у, Z)

\pfix, р-у)\<СВ{х, у)

для достаточно малых значений параметра р; здесь А ix, у, z) и В{х, у) предполагаются непрерывными функциями своих аргументов для всех значений х, у, г;

b) ср(0, 0) = 0, fix, 0)jc<0 при ХфО,

[fix,y)~fix,0)]y<0 при уф О, о

fix, O)rfjc = oo.

Заметим, что условие а) удовлетворяется в случае, когда функция Fix, у, г, f) линейна относительно х, у, z п ограничена по t для О < со. Любая линейная функция f (jc, у) = - сх-\- dy, где с и а - постоянные, также удовлетворяет условию а); кроме того, она будет удовлетворять и условию Ь), если положить с<0 и d<0.

dY „

=-aX-pF{X p-Y, fZ,px),

(7.4)

в общем случае уравнение (7.1) описывает систему регулирования нелинейного объекта, отрабатывающего входное воздействие произвольного вида.

К системам типа (7.2) приводят некоторые задачи об отыскании оптимального управления. В самом деле, рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х=у, $ = z, i= -F(X, у, г, t) -Ku{t)x,

и попытаемся найти функцию и (t) таким образом, чтобы при I «(О I 1 некоторая функция v {х, у, г) имела бы в силу этой системы наибольщую скорость убывания. Нетрудно видеть, что функция и (t) должна в этом случае . dv

иметь вид гг (г) = sign -, а это при некоторых дополнительных предположениях о структуре функции v приводит к системе (7.2).

Теорема 7.1. Пусть выполнены условия а) и Ь) гг пусть задано положительное число в. Тогда для заданной ограниченной области G фазового пространства можно указать такое положительное число Ко, что при KKft любое решение системы (7.2), определяемое начальными условиями из области Q, будет удовлетворять с некоторого момента времени условиям \x{t)\< <s, \y{t)\<C, !(0<е.

2. Докажем теорему. Покажем сначала, что любая точка из области Q-области возможных начальных положений, двигаясь в силу уравнений системы (7.2), попадает в некоторый момент времени на поверхность 5, заданную уравнением .9 = 2 -ср(дг, j)=0.

Для этого в системе (7.2) проведем замену переменных

= рт, Х=х, Y=py, Z = pz. (7.3)

Новая система запищется в виде

dX у