С части Si на часть а с части на часть Si- На частях Si и Si плоскости Ri = 0 действует система

х=у, р = Ах~Ву, (11.8)

и если К достаточно велико, то точка М пойдет по кривой гиперболического типа снова к плоскости 7=0. Однако, пройдя эту плоскость, точка снова попадет в область притяжения плоскости Ri=0. Таким образом, переходя с одной стороны плоскости Т = 0 на другую и колеблясь между Плоскостями Ri = 0 и RO, точка М придет в начало координат, т. е. мы получаем неидеальный скользящий режим движения точки М по поверхности 5. В плоскости Г = 0 существует прямая линия

y-f Dx = 0, z-f Dy = 0, (11.9)

которая, в некотором смысле, направляет движение изображающей точки к началу координат.

В некоторых случаях при выполнении неравенств (11.6) движение изображающей точки в заключительной стадии может происходить по-иному. Дойдя по поверхности S до плоскости 7 = 0, точка М сойдет с нее, но может не дойти до части Si, а повернуть вокруг линии (11.9) обратно к S. В этом случае точка М, быстро вращаясь вокруг линии (11.9), будет асимптотически приближаться к началу координат.

Ниже дается подробное обоснование высказанных сейчас положений.

3. Перейдем к доказательству теоремы.

Пусть для определенности точка М в начальный момент времени лежит в области О,. Покажем сначала, что с ростом t точка М попадет на поверхность 5.

Из доказательства теоремы 9.1 второй главы следуег, что с ростом времени точка М либо попадет на плоскость Ri = 0, а следовательно, на часть 5] или Si поверхности 5, либо на плоскость х = 0. В последнем случае точка М выйдет в область О. Область 0 рассекается интегральной плоскостью системы (11.2) при а=- 1 на две части. Уравнение этой плоскости имеет вид

(fb)x-2yz = 0, (11.10)

где 7 и 8 - вещественная и мнимая части корней уравнения

X-j-akbl-{-c~K=-0. (11.11)

При /С достаточно большом уравнение (11.11) имеет пару комплексных корней 7±:/8(7<0, 80) и вещественный положительный корень [а. Очевидно, с ростом К неограниченно растут и величины 171, 8, р.. Если точка М лежит выше интегральной плоскости (10.10), то с ростом t она выйдет на плоскость х = 0 (при у<) или попадет на плоскость /?2 = 0, т. е. на части 5з или 54 поверхности 5.

Если же точка Мху z) лежит ниже плоскости (11.10), то нетрудно показать, что М не может выйти из области 0 через плоскость х = 0. Справедливость этих утверждений вытекает из доказательства теоремы 9.1.

С другой стороны, легко видеть, что вдоль траектории точки М имеем

Яз (X, Z) = с,е + Л) + ср (О, (11.12) где f{t) -О при t -.00 и

с, = [{f + 8) х„ - 2хУо + «1 [(Н- - Т) + Щ--

Так как величина - А при К достаточно большом

является положительной, то величина /?з(х, у, .г) необходимо должна перейти из области положительных значений {Ri{X(j,Уф z~0) в область отрицательных значений. Таким образом, точка М либо попадет на часть .S. или поверхности .S, либо выйдет на плоскость х = 0 при уО. Но в последнем случае в § 9 доказано, что точка Ж, попав в область Gi, необходимо должна попасть на плоскость = О, т. е. либо на части S, Si поверхности ,5, либо на часть Г) плоскости Г=0.

Итак, любая точка фазового пространства необходимо попадает на поверхность ,5.

4. Рассмотрим далее движение точки М по поверхности 5, предполагая выполненными неравенства (11.6).

Так как fl -4А<0, то точка О для системы (11.7) является особой точкой типа «фокус», а для системы (11.8) - особой точкой типа «седло».

Из второго неравенства (П.б) следует, что одна из сепаратрис системы (11.8) лежит на частях 6 и 4 поверхности 5.

Таким образом, легко устанавливается характер движения точки по поверхности .S до тех пор, пока точка не дойдет до плоскости Т =у Dx = 0 или до секторов прошиваемости LiOLi, L-iOLi. В последнем случае точка М,

0,5(Б-f KZ + 4Л ), (11.16)

оторвавшись от поверхности 5, снова попадает на нее по другуЕО сторону сектора, причем величина отклонения точки от 5 с ростом К становится как угодно малой (см. § 7 второй главы).

Остается рассмотреть поведение точек, попавших на плоскость 7 = 0, т.е. на одну из линий OQ; (г = 1,2,3,4; рис. 16). Допустим, для определенности, что точка М лежит на линии OQi.

Нетрудно видеть, что при выполнении условий (11.6) след плоскости z-\-Dy = Q на плоскости 7 = 0 лежит в секторе, образованном следами плоскостей Ri = 0 и/?2 = 0. Поэтому вдоль траектории движения точки М величина 7 меняет знак и движение является существенно криволинейным.

Опираясь на метод малого параметра, можно показать путем рассуждений, приведенных в § 10, что движение изображающей точки в заключительной стадии будет происходить по некоторой спиралевидной кривой, охватывающей прямую (11.9); это движение и будет скольжением второго порядка. Таким образом, скольжение второго порядка осложнено быстрыми движениями вокруг прямой (11.9). Игнорирование быстрых движений приведет к идеализации скольжения второго порядка, и мы получим уравнение x--Dx = 0, описывающее идеальное скольжение второго порядка.

б. Остановимся кратко на описании остальных случаев, когда хотя бы одно из неравенств (11.6) не выполняется. Если выполнено неравенство

В2 4Л2>0, (11.13)

то начало координат для системы (11.7) будет особой точкой типа «узел>. Если наряду с (11.13) выполнено неравенство

D<0,5 (Б + /Б + 4Л ), (11.14)

то часть точек 5( и 5з будет входить в начало координат вдоль прямой

у = - 0,5 (Б - - 4л ) X, R, = 0, (11.15)

а остальные точки снова буду г попадать на плоскость у-~ -\-Dx = Q и совершать в дальнейшем к точке О скользящее движение точно такого же типа, какое мы рассматривали ранее.

Если наряду с (11.13) выполнено условие