k = m+ I

не равна нулю, то она равна минимуму квадрата среднеквадратичного отклонения кривой z = r(t) от /w-мерной гиперплоскости пространства £„.

Таким образом, величина 5 в данном случае является т-и поперечником кривой z = r{t) в пространстве Е„ [122].

Для вычисления 5 по формуле (8.15) необязательно нужно знать корни Хд,,, Х„. Известно ([123], стр. 80), что

D (г) ,

где R - любой контур плоскости комплексного переменного, охватывающий только указанные корни уравнения D(l.) = 0. В частности, R может быть окружностью радиуса е с цен г-

ортогональный к Cj. Пользуясь аналогичными рассуждениями, получим полное решение нашей задачи. Так как

о 1 = 1 1 = 1

есть инвариант квадратичной формы /, то формула (8.15) непосредственно вытекает из формулы (8.14).

Заметим теперь, что добиться точного осуществления траектории путем выбора оптимальной системы управляющих функций и управляющих векторов можно при тп только в том случае, если

m+i = +а = • • • = = О-

Но это означает, что уравнение

D(k) = \B-\Е\ = 0 (Е-единичная матрица)

имеет нулевой корень кратности п - т. Условия существования такого корня имеют в ид D (0) = D (0) =... = D<" -+" (0) = 0. Геометрически эти условия означают, что кривая z = r{t) лежит в от-мерном линейном подпространстве пространства Е„. Если же величина

ром в начале координат, если известно, что m+i<Cs<X„. Для определения минимального количества управляющих функций, позволяющих осуществить траекторию с заданной точностью, полезно использовать принцип аргумента или какой-либо другой известный метод (например, метод Штурма) определения числа корней уравнения D(X) = 0, лежащих в интервале (О, в). Если это число равно /, то я - / управляющих функций и я -/управляющих векторов можно будет подобрать так, что будет иметь место неравенство 8*<£/. Лучшую оценку точности приближения дает в этом случае снова формула (8.15). Во всяком случае, полезно помнить, что приближение при помощи т управляющих функций будет тем точнее, чем меньше будут по абслютной величине коэффициенты уравнения D(X) = 0 при степенях X, не превосходящих т - я.

5. В случае, когда интервал времени, на котором мы осуществляем заданный процесс, полубесконечен, т. е. задан неравенством 0:<;оо, необходимо обратитьсяк лемме 6.2 (неравенство (6.17)) и к теореме 6.5. Если мы хотим оценивать величину А (t) по норме М, то можем выбрать управляющие векторы таким образом, чтобы минимизировать

II(s)- 1!Ук()\\ ча интервале tst-{-l.

В этом случае, очевидно, при переменном t векторы C/i превращаются в векторные функции (t). Эти векторные функции можно сделать кусочно-постоянными, если минимизацию проводить только на интервалах ktrk-\- I, где k - целое число. Задача наилучшего приближения в AIj и в том и в другом случаях не будет решена точно, однако найденное управление может оказаться практически удовлетворительным.

6. Может случиться так, что на величину управляющих векторов наложены некоторые ограничения. В работе [124] указан способ решения задачи в этом случае. Различные другие подходы к рассматриваемой здесь задаче освещены в статьях [125-131].

В задаче осуществления процесса мы предполагали все время, что начальные точки действительной и осуществляемой траектории совпадают. Если начальное состояние не соответствует желаемому, то предварительно следует осуществлять

переходный процесс [124]. Однако более перспективный способ состоит в том, что переходный процесс и процесс осуществления движения по заданной траектории производятся одновременно. В этом случае надо задать семейство переходных кривых, которое определяет поле направлений в фазовом пространстве. Это семейство может быть задано также дифференциальными уравнениями. Заданная система дифференциальных уравнений также определяет некоторое поле направлений, которое зависит от управления. Управление находится из условия минимизации в каждый момент времени квадратичного отклонения между соответствующими векторами указанных направлений [130].

Впрочем, следует заметить, что аналогичный результат получится, если управление выбирать исходя из требования максимума скорости убывания некоторой функции Ляпунова, составленной для уравнений возмущенного движения.