дХ\ dXi

имеет отрицательные собственные числа л,-, удовлетворяющие неравенству [j.;< - а, аО во всех точках пространства, - со <оо, / = 1, 2, ... , п, О <со. Здесь - проекции векторной функции Х{х, t).

рой оценивается ошибка приближения Д (t). Теоремы 6.2 и 6.3 дают возможность оценить точность приближения г(0 программируемого режима с помощью нормы А (t), взятой в пространствах С, М, М. Теорема 6.4 позволяет получить соответствующий результат в случае осуществления периодического режима.

Если программируемый режим является разрывным, то для указанных оценок следует привлечь теоремы § 7.

Наконец, если мы хотим осуществить случайный режим, подчеркивая стохастический характер рассматриваемых уравнений, то следует принять во внимание пример 5 из § 3. Проведенные там рассуждения позволяют свести поставленную задачу к детерминированному случаю [114].

Из теоремы 6.5 следует, что устойчивость при постоянно действующих возмущениях гарантируется равномерной асимптотической устойчивостью нулевого решения уравнения (8.4). Отсюда возникает интересная задача.

Назовем режим ф (t) устойчивым по отношению к уравнению х = Х{х, t), если нулевое решение уравнения i = = X(г--ф(О, t) - X{{i), t) равномерно асимптотически устойчиво. Из предыдущего ясно, что только устойчивые режимы могут претендовать на хорошее приближение при всех 0.

Очевидно, в случае, когда оператор X {х, t) линеен относительно X, всякий режим будет устойчивым, если нулевое решение уравнения х = Х{х, t) равномерно асимптотически устойчиво.

Таким же свойством обладают системы, рассмотренные Н. Н. Красовский [120]. Эти системы определяются тем, что для каждой из них можно указать постоянную симметричную матрицу Л, имеющую положительные собственные числа, и такую, что симметризованная матрица

3. Рассмотрим теперь в л-мерном линейном векторном пространстве Е„ дифференциальное уравнение

= + (8.5)

Здесь X, Cft - л-мерные векторы, у,, - скалярные функции. Если ставится задача осуществления процесса x = tt)(0 на промежутке OtT, то замена z = x - if (О сведет уравнение (8.5) к уравнению

z = Z(z, t)(t), (8.6)

Z (г, О = (г + г5 (О, О - ( (0. О,

it) = X (г5 (О, О - (О + 11 с,у, (О.

Пусть в области ( г = Я, OtT функция Z (г, t) удовлетворяет условию Липшица

Тогда согласно теореме 2.6 решение z{t) уравнения (8.6) может быть оценено следующим образом:

\\z{t)\\\ei-(t- {s)ds. о

Очевидно, чтобы решить задачу приближенного осуществления процесса г = 0, необходимо за счет выбора либо векторов Cft, либо функций у kit), либо тех и других, сделать векторную функцию А (s) достаточно малой по отношению к той или иной метрике. Пусть будет

r{t) = ~X(it), 0;

тогда будем иметь

A(0=Ec,;;,(0-r(O и, следовательно, задача сводится к задаче аппроксимации

функции r(t) линейным агрегатом y(t)=Ckyk{t)- Ука-

А->1

занная задача является очевидно задачей теории приближений. Проще всего такие задачи решаются в метрике L, т. е. в терминах теории среднеквадратических приближений. Напомним некоторые основные положения этой теории [121].

В линейном пространстве Н сопоставим каждой паре элементов х, у некоторое число {х, у), которое назовем скалярным произведением. Пусть будут выполнены следующие условия:

a) {X, = х\

b) (ах + у, Z) = а{х, z){y, z),

c) {X, х)0,

d) (X, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0. Норму в пространстве Н введем по правилу

\\х\\ = {х,х).

Пространство Н назовем пространством Гильберта. Если (х, у) = 0, то элементы х к у будем называть ортогональными.

Систему элементов х,, х„ из Н назовем линейно независимой, если из

а,Х, -f . . . -f dmm = 0.

где - вещественные числа, следует «г = О для любого значения k. Систему элементов Xj, ... , х назовем ортонор-мированной, если (Х;, х) = О при / ф k, (х,-, х,-) = 1 при i=\, % ... , т.

Если X), ... , х - система линейно независимых элементов пространства Н, то можно построить ортонормиро-ванную систему у„ ... , у, элементы которой являются линейными комбинациями Xj, ... , х„, и наоборот.

Пусть Н„ - некоторое /«-мерное подпространство пространства Н, т. е. подпространство, порожденное т линейно независимыми элементами ft,, ... , ft, и пусть /-произвольный элемент пространства Н. Поставим задачу подбора таких чисел aj, ... , а, чтобы величина

/ a,ft,-...-a„ft„ II

была наименьшей.