/=1

Норма может быть определена и другим способом; укажем

Предположим, что правые части системы (1.1), т. е. функции Xi{Xi, х„, t), непрерывны в некоторой открытой области D, которая может совпадать со всем пространством. Предположим, кроме того, что функции А",-{х, ..., х„, t) удовлетворяют в любой замкнутой области О, лежащей в D, условиям Липшица по переменным х ..., л:„. Известная теорема гарантирует в этом случае существование единственного решения Xi = Xi{t, х1, ..., х%), i= 1,2, удовлетворяющего начальным условиям Xi(t, xl, хп) - х1.

Заметим, что решение x - Xi{t, xl.....Хп) может существовать не для всех значений t, - oo<t<со, а только на некотором конечном промежутке. Если же решение определено для любого значения t, то назовем эго решение продолжаемым. Если решение не выходит за пределы некоторой ограниченной области, то оно будет продолжаемым [3]. Существуют и другие, более общие критерии продолжаемости; мы их приводим в третьей главе

Правые части системы (1.1) мы будем трактовать в дальнейшем как проекции переменного вектора скорости X(Xi, Х, ..., Хп), а величину t будем истолковывать как время. Тогда система (1.1) задает закон движения начальной точки Afo(jcJ,..., Хп> О 1-мерного фазового пространства по траектории

Xi = xi(t, xl.....хп), 1=1, 2, .... п.

В дальнейшем систему (1.1) мы часто будем записывать в векторной форме, т. е. в виде

g = (x, 0. (1.2)

Решением этой системы будем считать векторную функцию X(t) с проекциями Xi(t), x„{t). Через х \\ обозначим норму вектора х. В простейшем случае норма вектора может совпадать с евклидовой длиной вектора, т. е. определяться по формуле

Н-)<Ь+\[-Ч + 1[1 (/-»-1) + 8/

« - to)

два других часто встречающихся способа задания нормы: II 11= шах I Xi I

Очевидно, введение нормы в фазовом пространстве дает возможность ввести понятие близости точек пространства и, следовательно, понятие предельного перехода. Легко видеть, что если последовательность векторов х сходится к вектору X в смысле одной из указанных норм, то она сходится и в смысле любой из двух других норм. Принято говорить в этом случае, что указанные нормы топологически эквивалентны.

В дальнейшем нам будет нужна следующая лемма. Лемма 1.1. Пусть u{t) - непрерывная функция, удовлетворяющая при tt неравенству

<u(t)<b\{-cLii{t))dt, (1.3)

где 8, 7j, L - постоянные и 80, tq О, I 0. Тогда имеет место неравенство

н(0<(/-»- 1) + 8/<-». (1.4)

В самом деле, при = о неравенство (1.4) выполняется. В силу непрерывности функции u{t) неравенство (1.4) будет справедливым и при tt, если только разность t - Достаточно мала. Пусть t = z - ближайший момент времени, при котором неравенство (1.4) нарушится, т. е. превратится в равенство.

Рассматривая неравенство (1.3) при t - x и помня, что на полуинтервале tgt<z неравенство (1.3) имеет место, получим

I 1) оценка изменения решений 13

Проведя интегрирование и подставив пределы, получим неравенство

противоречащее выбору т.

Используя доказанную сейчас лемму, дадим оценку изменения решений системы (1.2), соответствующего изменению начальных условий и правых частей системы.

Наряду с системой (1.2) рассмотрим систему:

£=Х(у, t)-R(y, t). (1.5)

Пусть в области D при totrt-- Т выполняется неравенство

\\R(y- i)\\<ri. (1.6)

Рассмотрим решение x - x{t, х") системы (1.2) и решение yz:y(t,y>) системы (1.5). Предположим, что начальные условия, определяющие рассматриваемые решения, удовлетворяют условиям

II/-X-IK8. (1.7)

Запишем теперь условия Липшица для системы (1.2) в виде неравенства

\\Х(у, t)-.Xix, t)\\<:L\\y-x\\, (1.8)

где L - некоторая постоянная.

Теорема 1.1 (об оценке отклонения решений). Пусть выполнены условия (1.6) - (1.8), тогда при tott-{- Т имеет место оценка

\\y{t)-x{t)\\<l{e--\) + Ьe-\ (1.9)

Для доказательства оценки представим уравнения (1.2) и (1.5) в виде интегральных уравнений

Ar(0 = x+ \ Х{ х, t)dt,

>(0=/+i [Х{у. t)-i-R{y. t)\dt