то получим

II yit-x (О II < 5 [Же + (Ж + L) II у(1)-х (О II ] dt. to

Неравенство (4.13) непосредственно следует теперь из леммы 1.1 первой главы.

Наряду с системой (4.4) рассмотрим теперь систему

dz -

- = R + P?i(. У).

=-X+pF,(X, Y, R, Z). (4.14)

Пусть функции tp) (Л, Y) к Fi (X, Y, R, т) в области Х<оо, К<]оо, R>0, тО удовлетворяют условиям

\<fi{X, У)К1.(А + У), ) \Fi{X, Y R)\L,{\X\\Y\-R), j - >

где Ll, Li - некоторые положительные постоянные.

Лемма 4.5. Всякое решение системы (4.14), определенное начальной точкой Жо(Ао, Kq, Ra), лежащей в области I А<;8, I К<;8, О <;R<;8, удовлетворяет в полупространстве R неравенствам

и<58 + Л,р8, I К<48 + Лр8, /?<8 + Лзр8,

где Ai, А, А - постоянные, зависящие от Li и L.

Справедливость леммы 4.5 вытекает непосредственно из предыдущей леммы. В самом деле, из доказательства леммы 4.3 следует, что точка Ж(t), двигаясь по траектории системы (4.4), находится вне области [ X 1< 8, К < 8, /? > О не более трех единиц времени, при этом точка Ж(т) не выходит за пределы области

\Х\<5Ь, I К<48, 0<R<8.

Отсюда следует, что норма вектора Я (О, ptp,, pFi), характеризующего отклонение систем (4.4) и (4.14), может быть с учетом (4.15) оценена следующим образом:

где через F обозначен вектор с проекциями X, К, R. Кроме того, согласно лемме 4.3, имеем F\ Nb- Таким образом, полагая A1 = /Vip и £ = N38, можем применить оценку леммы (4.4) и получим оценку отклонения решений систем (4.4) и(4.14). Из этой оценки и будет следовать требуемый результат.

Замечание 4.1. Заметим теперь, что легко сформулировать результаты, аналогичные результатам, приведенным в леммах 4.1, 4.2, 4.3 и 4.5 для системы

эквивалентной системе (4.3) в области R<0.

Так, например, соображения о симметрии расположения траекторий систем (4.4) и (4.16) приводят к выводу, что если начальная точка не лежит на прямой Х=- Y=R, то решение системы (4.16) обладает свойством lim X{z) -

т 00

- lim К(х)= lim R(x) = oo. Аналогичным образом могут

t ~*oo т ~» со

быть перефразированы и остальные леммы.

Теорема 4.1. Пусть Л > О, О и, кроме того, выполнены условия (3.5). Можно указать такое положительное число Ко, что при К„ нулевое решение системы (3.2) будет асимптотически устойчивым при любых начальных возмущениях.

Пусть для определенности начальная точка Мц лежит в области RO (если точка Ж„ лежит в области R<0, то всюду в дальнейших рассуждениях следует учитывать замечание 4.1). Из леммы 4.1 следует, что изображающая точка М (х), движущаяся по траектории системы (4.3), либо попадает на плоскость /? = 0 за конечный промежуток времени, либо будет асимптотически приближаться к началу координат по прямой (4.5).

Окружим теперь прямую (4.5) достаточно узкой трубкой. Если изображающая точка Ж(х) лежит вне этой трубки, то для заданной ограниченной области начальных условий фазового пространства время попадания на плоскость R = О будет ограничено. Следовательно, по теореме 1.1 первой главы можно указать настолько малое значение р, что отклонение траекторий систем (4.2) и (4.3) за указанный промежуток времени будет меньше наперед заданного положительного

числа. Таким образом, приходим к выводу, что все точки, не лежащие внутри рассматриваемой трубки, попадут, двигаясь по траекториям системы (4.2), на плоскость R=0.

Если же начальная точка лежит внутри трубки, то она может при своем движении либо выйти из трубки и больше никогда в нее не попадать, либо попадать в трубку в как угодно большие моменты времени. В первом случае применимы только чго приведенные рассуждения. Во втором случае приходим к выводу, что изображающая ючка попадег неизбежно на плоскость R = 0 или, чю то же самое, на плоскость 5 = 0.

Попав на плоскость s=0, изображающая точка будет совершать свое движение в силу системы (3.10), описывающей скольжение. Условия АО, ВО обеспечивают движение точки по плоскости 5 к началу координат.

Чтобы завершить доказательство теоремы, остается показать, что имеет место устойчивость по Ляпунову. Таким образом, нужно доказать существование для любого заданного £0, такого числа 8, что из неравенств Ао<С8, о<С8> /?о<С8 следовали бы для решений системы (4.2) неравенства

()1<. [(Ж. \R{)\< при т>0.

Однако такое число 8 мы можем выбрать согласно лемме 4.5. Некоторое осложнение доставляют точки, лежащие на плоскости R=0, так как о них в лемме 4.5 ничего не говорится. Но так как эти точки скользят по плоскости R = 0 в силу асимптотически устойчивой системы (3.10), то и для них требуемое свойство имеет место.

Сделаем следующее замечание. Характеристическое уравнение (3.10), описывающее процесс скольжения, имеет вид

XijBX-\A = 0. (4.17)

Корни этого уравнения, с учетом первого из условий (3.5) существования скольжения, определяются формулой Xj 3 =

=--g- - В аВ - b Отсюда видно, что для

обеспечения высокой скорости скольжения необходимо значение В выбирать настолько большим, насколько позволяет второе из условий (3.5). При этом корни характеристического уравнения (4.17) могут стать комплексными, и режим