§ 7] примеры 29

Таким образом, получим f, (х) = сх и (у) = Ьу, т. е. v - cx-{-by. Для производной в получим выражение v = =-2асх -\-2bdy. Если а<0, u?<;0, Й(7>-0, то мы находимся в условиях применения теоремы 4.2 и положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Если а==0, йО, < О, с О, то нулевое решение будет устойчивым в смысле Ляпунова, как это следует из теоремы 4.1. Однако в данном случае из теоремы 5.2 следует и асимптотическая устойчивость. В самом деле, множеством М в данном случае служит множество у = 0, т. е. ось Ох. Но легко видеть, что на оси Ох нет целых траекторий системы (7.1). В самом деле, если бы такая траектория лежала на оси Ох, то мы имели бы тождественно вдоль нее у = О, = О и из второго уравнения системы (7.1) вывели бы, что x==Q. Таким образом, на оси Ох находится только одна целая траектория - особая точка 0(0,0). Если *(7<0, ad<0 или а>0, *>0, (7>0, dO, то мы находился в условиях применения теоремы 6.1 и нулевое решение будет неустойчивым. Неустойчивость будет также иметь место в силу теоремы (6.3) и в том случае, когда a = Q, be <0, d ф 0.

Заметим, что метод построения функции Ляпунова, продемонстрированный сейчас, носит название метода деления переменных [18].

Пример 2. Рассмотрим теперь уравнение колебаний маятника

If-\-n + Mgl sin <f=:L, (7.2)

где / - момент инерции, - мо.мент силы трения, Mglsin(f - момент силы тяжести, L - вращающий момент, М - масса, g-ускорение силы тяжести, /-расстояние от центра массы маятника до оси вращения, ?р - угол отклонения маятника QT вертикали.

Разделив на / и введя новые обозначения а = 4-, Ь = = ~-, N-, запишем уравнение в виде

+ * sin 9 = Л/, (7.3)

или в виде системы

==(0, ш = - b sin f - аш-\-N. (7.4)

Очевидно, система (7.4) будет иметь положение равновесия, определяемое из уравнений

(0 = 0, -ft sin ?р - aio-{-N=0,

откуда следует, что положение равновесия существует, если уравнение siu = N/b имеет решение ?р„. Таким образом, для существования положения равновесия необходимо выполнение неравенства jVfigft. Вводя новую переменную х = = ?р - ?p„, сведем уравнение (7.3) к уравнению

x + ai + ft(sin(j; + 5p„)-sin?„) = 0, (7.5)

для которого равновесным состоянием будет состояние х = 0, х = 0. Система, эквивалентная уравнению (7.5), имеет вид

х=у, у== -ft (sin (х + 5р„)-sin ?„) - ау. (7.6)

Заметим, что в случае отсутствия трения уравнение (7.2) обладает первым интегралом (интегралом энергии)

£= + M/(l-cos)-Icp = c. (77)

Этот первый интеграл находится при п = 0 из уравнения (7.3) подстановкой а) = ф. Физический смысл первого интеграла состоит в том, что он дает полную энергию маятника, причем эта энергия остается в процессе колебаний маятника постоянной, так как рассеивания энергии не происходит. Если же в рассматриваемой системе имеется трение (в точке подвеса маятника, сопротивление среды и т. д.), то происходит рассеивание энергии, и величина Е уже не будет постоянной вдоль траектории, а будет убывать, т. е. будет вести себя как функция Ляпунова системы (7.6). Проведя в (7.7) замену переменных х = - ?p„, у = 10, рассмотрим новую

функцию: = -h*(cos?po - С08(х-f-?р„) - xsin). Очевидно, V отличается от Е на постоянную величину. В силу системы (7.6) получим v=-lay. Если cos?p„0, то при достаточно малых х функция v будет определенно положительной.

В самом деле, из формулы Тейлора следует, что F (х) = cos cf - cos ix - х sin -fo S2iifl±I«I;2,

= =1. 2, ...,«. (8.1)

dxi dt

Пусть Xj..... Х„ - корни характеристического уравнения

системы (8.1), т. е. корни уравнения

... а„„ - X

= 0. (8.2)

Справедливы следующие утверждения [8]:

1. Если все корни уравнения (8.2) имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (8.1) асимптотически устойчиво.

2. Если среди корней уравнения (8.2) есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то нулевое решение системы (8.1) неустойчиво.

где I jc* I fig I jc I; очевидно, при х достаточно малом знак функции F {х) совпадает со знаком cos ?ро.

Заметим далее, что v обращается в нуль только на оси Ох, таким образом, множеством М, фигурирующим в формулировке теоремы 5.1, будет линия y~i) или отрезок этой линии. Легко видеть, что на линии у = 0 нет целых траекторий, кроме особых точек, абсциссы которых удовлетворяют уравнению

sin (JC-f ?о)- sin 5ро=0.

Чтобы применить теорему 5.1, следует в качестве множества взять интервал оси Ох, заключенный между ближайшими к началу координат особыми точками. Область, заключенная внутри линии v = c, проходящей через ближайшую точку, будет, очевидно, обладать тем свойством, что все ее точки притягиваются к точке (О, 0).

Очевидно, в случае cos ро < О точка (О, 0) является неустойчивым положением равновесия.

§ 8. Линейные системы

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами